Question

觀察：1•2•3•4+1=5²，
2•3•4•5+1=11²，
3•4•5•6+1=19²，
…
（1）請寫出一個具有普遍性的結(jié)論，并給出證明；
（2）根據(jù)（1），計算2000•2001•2002•2003+1的結(jié)果（用一個最簡式子表示）．

Answer 1

解：（1）對于自然數(shù)n，有n（n+1）（n+2）（n+3）+1
=（n²+3n）（n²+3n+2）+1
=（n²+3n）²+2（n²+3n）+1
=（n²+3n+1）²．
即n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n²+3n+1）²；

（2）由（1）得，2000×2001×2002×2003+1=（2000×2003+1）²=4006001²．
分析：（1）等式左邊是4個連續(xù)正整數(shù)的積與1的和，右邊是這4個正整數(shù)中最大數(shù)與最小數(shù)的積與1的和的平方；
（2）由（1）知（2000×2003+1）²，計算即可．
點評：通過觀察，分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題是應(yīng)該具備的基本能力．本題的關(guān)鍵規(guī)律為等號右面的數(shù)與左邊的數(shù)的關(guān)系，等號右邊的數(shù)是左邊最大數(shù)與最小數(shù)的積與1的和的平方．