Question

已知拋物線y=ax²+bx+2與x軸相交于點(diǎn)A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂），且x₁，x₂是方程x²-2x-3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，點(diǎn)C為拋物線與y軸的交點(diǎn)．
（1）求a，b的值；
（2）分別求出直線AC和BC的解析式；
（3）若動(dòng)直線y=m（0＜m＜2）與線段AC，BC分別相交于D，E兩點(diǎn)，則在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得△DEP為等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）求出方程兩根代入拋物線解析式即可；
（2）設(shè)所求的解析式為y=kx+b，用待定系數(shù)法求解；
（3）若△DEP為等腰直角三角形，應(yīng)分情況進(jìn)行討論，需注意應(yīng)符合兩個(gè)條件：等腰，有直角．

解答：解：（1）由x²-2x-3=0，得x₁=-1，x₂=3．
∴A（-1，0），B（3，0），（1分）
把A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入
y=ax²+bx+2聯(lián)立求解，
得a=-

2

3

，b=

4

3

．（2分）

（2）由（1）可得y=-

2

3

x²+

4

3

x+2，
∵當(dāng)x=0時(shí)，y=2，
∴C（0，2）．
設(shè)AC：y=kx+b，把A，C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入y=kx+b，聯(lián)立求得k=2，b=2．
∴直線AC的解析式為y=2x+2．（3分）
同理可求得直線BC的解析式是y=-

2

3

x+2．（4分）

（3）假設(shè)存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P，并設(shè)直線y=m與y軸的交點(diǎn)為F（0，m）．
①當(dāng)DE為腰時(shí)，分別過(guò)點(diǎn)D，E作DP₁⊥x軸于P₁，作EP₂⊥x軸于P₂，如圖，
則△P₁DE和△P₂ED都是等腰直角三角形，DE=DP₁=FO=EP₂=m，AB=x₂-x₁=4．
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴

DE

AB

=

CF

OC

，即

m

4

=

2-m

2

．
解得m=

4

3

．（6分）
∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)是

4

3

，
∵點(diǎn)D在直線AC上，
∴2x+2=

4

3

，解得x=-

1

3

，
∴D（-

1

3

，

4

3

）．
∴P₁（-

1

3

，0），同理可求P₂（1，0）．（8分）

②當(dāng)DE為底邊時(shí)，
過(guò)DE的中點(diǎn)G作GP₃⊥x軸于點(diǎn)P₃，如圖，

則DG=EG=GP₃=m，
由△CDE∽△CAB，
得

DE

AB

=

CF

OC

，即

2m

4

=

2-m

2

，
解得m=1．（9分）
同1方法．求得D（-

1

2

，1），E（

3

2

，1），
∴DG=EG=GP₃=1
∴OP₃=FG=FE-EG=

1

2

，
∴P₃（

1

2

，0）．（11分）
結(jié)合圖形可知，P₃D²=P₃E²=2，ED²=4，
∴ED²=P₃D²+P₃E²，
∴△DEP₃是Rt△，
∴P₃（

1

2

，0）也滿(mǎn)足條件．
綜上所述，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P共有3個(gè)，即P₁（-

1

3

，0），P₂（1，0），P₃（

1

2

，0）．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)較為全面：解一元二次方程，用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，相似的應(yīng)用以及勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等，需耐心分析，加以應(yīng)用．