Question

如圖，在?ABCD中，AB=2AD，M為AB的中點(diǎn)，如圖連接DM、MC，試問直線DM和MC有何位置關(guān)系？請證明．

Answer 1

分析：由AB=2AD，M是AB的中點(diǎn)的位置關(guān)系，可得出DM、CM分別是∠ADC與∠BCD的角平分線，又由平行線的性質(zhì)可得∠ADC+∠BCD=180°，進(jìn)而可得出DM與MC的位置關(guān)系．

解答：證明：DM與MC互相垂直，
∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，
∴AB=2AM，
又∵AB=2AD，
∴AM=AD，
∴∠ADM=∠AMD，
∵?ABCD，
∴AB∥CD，
∴∠AMD=∠MDC，
∴∠ADM=∠MDC，
即∠MDC=

1

2

∠ADC，
同理∠MCD=

1

2

∠BCD，
∵?ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠MDC+∠MCD=

1

2

∠BCD+

1

2

∠ADC=90°，
即∠MDC+∠MCD=90°，
∴∠DMC=90°，
∴DM與MC互相垂直．

點(diǎn)評：本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的判定及性質(zhì)，應(yīng)熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，并能求解一些簡單的計(jì)算、證明等問題．