Question

如圖，以Rt△ABO的直角頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸，OB所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．已知OA=8，OB=6，一動點(diǎn)P從O出發(fā)沿OA方向，以每秒1個單位長度的速度向A點(diǎn)勻速運(yùn)動，到達(dá)A點(diǎn)后立即以原速沿AO返回；點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以每秒1個單位長度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動，當(dāng)Q到達(dá)B時，P、Q兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動．設(shè)P、Q運(yùn)動的時間為t秒（t＞0）．
（1）當(dāng)t為何值時，△APQ的面積為

9

2

？
（2）在點(diǎn)P從O向A運(yùn)動的過程中，在y軸上是否存在點(diǎn)E使得四邊形PQBE為直角梯形？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）伴隨著P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動，線段PQ的垂直平分線DF交PQ于點(diǎn)D，交折線QB-BO-OP于點(diǎn)F．當(dāng)DF經(jīng)過原點(diǎn)O時，寫出t的值．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）過Q作QR⊥x軸交x軸于點(diǎn)R，可用t表示出QR，進(jìn)一步表示△APQ的面積，令其等于

9

2

可求出t，注意分點(diǎn)P由O向A運(yùn)動和由A向O運(yùn)動兩種情況；
（2）分PE∥BQ和PQ∥PE兩種情況，利用條件可以用t表示出相應(yīng)線段的長度，再利用平行線分線段成比例的性質(zhì)得到線段之間的比例關(guān)系求出t的值，進(jìn)一步可求出E點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）由條件可知DF為PQ的垂直平分線，由此可得到線段相等，用t表示出相應(yīng)線段，求出t即可，注意也需要分點(diǎn)P由O向A運(yùn)動和由A向O運(yùn)動兩種情況．

解答：解：（1）如圖1，過Q作QR⊥x軸，交x軸于點(diǎn)R，則QR∥OB，由勾股定理可求得AB=10，

由平行線分線段成比例可得

QR

OB

=

AQ

AB

，即

QR

6

=

t

10

，解得QR=

3

5

t，
當(dāng)0＜t＜8時，OP=AQ=t，則AP=8-t，此時S_△APQ=

1

2

AP•QR=

1

2

（8-t）×

3

5

t，
令

1

2

（8-t）×

3

5

t=

9

2

，解得t=3或t=5，
當(dāng)8≤t＜10時，AP=t-8，AQ=t，同理可求得QR=

3

5

t，此時S_△APQ=

1

2

AP•QR=

1

2

（t-8）×

3

5

t，
令

1

2

（t-8）×

3

5

t=

9

2

，整理得：t²-8t-15=0解得t=4+

31

或t=4-

31

（小于0舍去），
綜上可知當(dāng)t的值為3或5或4+

31

時，△APQ的面積為

9

2

；

（2）存在，
由題意可知OP=AQ=t，AP=8-t．
當(dāng)PE∥BQ，PQ⊥PE時，如圖2，

在△EOP和△PQA中

∠EOP=∠PQA ∠EPO=∠PAQ OP=AQ

，
所以△EOP≌△PQA，
所以PE=AP=8-t，
又PE∥AB，
由平行線分線段成比例可得：

PE

AB

=

OP

OA

，
即

8-t

10

=

t

8

，解得t=

32

9

，則PE=8-t=

40

9

，
在Rt△POE中，由勾股定理可求得OE=

24

9

，即E點(diǎn)坐標(biāo)為（0，

24

9

），
當(dāng)PQ∥BE，PE⊥BE時，即E為原點(diǎn)，
PE=AQ=t，AP=8-t，則有

AP

OA

=

AQ

AB

，即

8-t

8

=

t

10

，解得t=

40

9

，符合題意，
此時點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，0），
綜上可知存在滿足條件的E點(diǎn)，E點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，

24

9

）或（0，0）；

（3）①當(dāng)P由O向A運(yùn)動時，OQ=OP=AQ=t，
可得∠QOA=∠QAO，
所以∠QOB=∠QBO，
所以O(shè)Q=BQ=t，
所以BQ=AQ=

1

2

AB，
即AB=2t，解得t=5，
②如圖3，
當(dāng)P由A向O運(yùn)動時，過Q作QG⊥y軸交y軸于點(diǎn)G，

OQ=OP=16-t，BQ=10-t，
則

BQ

BA

=

GQ

OA

，即

10-t

10

=

GQ

8

，所以GQ=

4

5

（10-t），
同理可求得BG=

3

5

（10-t），所以GO=6-

3

5

（10-t），
在Rt△OGQ中，由勾股定理可得：OG²+GQ²=OQ²，
即[6-

3

5

（10-t）]²+[

4

5

（10-t）]²=（16-t）²，
解得t=10，
綜上可知滿足條件的t的值為5和10．

點(diǎn)評：本題主要考查一次函數(shù)及平行線分線段成比例的性質(zhì)，把相應(yīng)的線段用t表示出來利用平行或垂直或直角三角形中的勾股定理得到關(guān)于t的方程是解題的關(guān)鍵．