(2002•瀘州)已知,如圖,AB為半圓O的直徑,C為OB上一點(diǎn),OC:CB=1:3,DC⊥AB交半圓O于D,過D作半圓O的切線交AB的延長(zhǎng)線于E.
(1)若BE=12,求半圓O的半徑長(zhǎng);
(2)在弧BD上任取一點(diǎn)P(不與B、D重合),連接EP并延長(zhǎng)交弧AD于F,設(shè)PC=x,EF=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并指出自變量x的取值范圍.

【答案】分析:(1)是求線段的長(zhǎng),由于題目中給出了兩條線段長(zhǎng)度的比,所以可以設(shè)未知數(shù),利用圖形的幾何性質(zhì)構(gòu)造方程來求解.
(2)涉及研究線段與線段函數(shù)關(guān)系的問題,線段作為變量,解題的關(guān)鍵是用幾何定理揭示它們之間的等量關(guān)系,列出方程后,再化為函數(shù)解析式.實(shí)質(zhì)上還是構(gòu)造方程,利用方程思想解題.
解答:解:(1)連接OD,
設(shè)OC=a,則BC=3a,OD=OB=4a;
∵DE是半圓的切線,
∴OD⊥DE;
又∵DC⊥AB,
∴△OCD∽△ODE,
∴OD2=OC×OE,
(4a)2=a×(4a+12),
解得a=0(不合題意,舍去),a=1,
∴OB=4a=4.

(2)連接OF;
∵△DCE∽△ODE,
∴DE:OE=CE:DE,
∴DE2=OE×EC;
由切割線定理可得DE2=PE×EF,
∴OE×EC=PE×EF,
∴PE:CE=OE:FE;
∵∠CEP=∠FEO,
∴△CEP∽△FEO,
∴PC:OF=EC:EF,
x:4=15:y,
∴y=
當(dāng)P取B點(diǎn)時(shí),PC最短,此時(shí)PC=3;
當(dāng)P取D點(diǎn)時(shí),PC最長(zhǎng),此時(shí)PC=;
∴3<x<
點(diǎn)評(píng):此例是利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)為等量關(guān)系,列出方程后,再化為函數(shù)解析式的.特別要注意用圖形的幾何性質(zhì)來確定自變量的取值范圍.
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(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求拋物線的解析式;
(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使△PAB的面積等于四邊形ACMB的面積的2倍?若存在,求出所有合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求拋物線的解析式;
(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使△PAB的面積等于四邊形ACMB的面積的2倍?若存在,求出所有合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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