Question

如圖直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，AB＝8，CD＝10．

(1)求BC的長；

(2)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以1 cm/s的速度沿B→A→D方向向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以1 cm/s的速度沿C→D方向向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；過點(diǎn)Q作QF⊥BC于點(diǎn)F．若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)整個(gè)運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．問：在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在這樣的t，使得以P、D、Q為頂點(diǎn)的三角形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E 　　∵四邊形ABCD是直角梯形 　　∴四邊形ABED是矩形 　　∴AD＝BE＝2，AB＝DE＝8　　(1分) 　　在Rt△DEC中，CE＝＝＝6　　(2分) 　　∴BC＝8　　(3分) 　　(2)(i)當(dāng)0≤t≤8時(shí)，過點(diǎn)Q 　　作QG⊥AB于點(diǎn)G，過點(diǎn)Q作QF⊥CB于點(diǎn)F． 　　∵BP＝t，CQ＝t， 　　∴AP＝8－t，DQ＝10－t　　(4分) 　　∵DE⊥BC，QF⊥CB 　　∴△CQF∽△CDE 　　∴ 　　∴　∴CF＝，QF＝， 　　∴PG＝＝，QG＝8－ 　　∴＝(8－t)2＋22＝t2＋16t＋68， 　　∴PQ2＝QG2＋PG2＝(8－)2＋()2＝ 　　若DQ＝PD，則(10－t)2＝t2＋16t＋68，解得：t＝8　　(6分) 　　若DQ＝PQ，則(10－t)2＝， 　　解得：t1＝，t2＝＞8(舍去)， 　　此時(shí)t＝　　(8分) 　　(ii)當(dāng)8＜t＜10時(shí)，PD＝DQ＝10－t， 　　∴此時(shí)以DQ為一腰的等腰△DPQ恒成立　　(9分) 　　而當(dāng)t＝10時(shí)，點(diǎn)P、D、Q三點(diǎn)重合，無法構(gòu)成三角形　　(10分) 　　綜上，當(dāng)t＝或8≤t＜10時(shí)，以P、D、Q為頂點(diǎn)的三角形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形．