如圖直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,AB=8,CD=10.
(1)求BC的長;
(2)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),以1 cm/s的速度沿B→A→D方向向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng);動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),以1 cm/s的速度沿C→D方向向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng);過點(diǎn)Q作QF⊥BC于點(diǎn)F.若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)整個(gè)運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.問:在運(yùn)動(dòng)過程中,是否存在這樣的t,使得以P、D、Q為頂點(diǎn)的三角形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形?若存在,請(qǐng)求出所有符合條件的t的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
解:(1)過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E ∵四邊形ABCD是直角梯形 ∴四邊形ABED是矩形 ∴AD=BE=2,AB=DE=8 (1分) 在Rt△DEC中,CE===6 (2分) ∴BC=8 (3分) (2)(i)當(dāng)0≤t≤8時(shí),過點(diǎn)Q 作QG⊥AB于點(diǎn)G,過點(diǎn)Q作QF⊥CB于點(diǎn)F. ∵BP=t,CQ=t, ∴AP=8-t,DQ=10-t (4分) ∵DE⊥BC,QF⊥CB ∴△CQF∽△CDE ∴ ∴ ∴CF=,QF=, ∴PG==,QG=8- ∴=(8-t)2+22=t2+16t+68, ∴PQ2=QG2+PG2=(8-)2+()2= 若DQ=PD,則(10-t)2=t2+16t+68,解得:t=8 (6分) 若DQ=PQ,則(10-t)2=, 解得:t1=,t2=>8(舍去), 此時(shí)t= (8分) (ii)當(dāng)8<t<10時(shí),PD=DQ=10-t, ∴此時(shí)以DQ為一腰的等腰△DPQ恒成立 (9分) 而當(dāng)t=10時(shí),點(diǎn)P、D、Q三點(diǎn)重合,無法構(gòu)成三角形 (10分) 綜上,當(dāng)t=或8≤t<10時(shí),以P、D、Q為頂點(diǎn)的三角形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形. |
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
A、1 | B、2 | C、3 | D、不能確定 |
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