Question

如圖，拋物線y=ax²+4與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A左B右），與y軸交于點(diǎn)C，AB=4．
（1）求拋物線的解析式； 
（2）以AC為直角邊作等腰直角△ACD，AD交拋物線于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)拋物線y=ax²+4得出C點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)AB=4求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再把A點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物y=ax²+4即可得出結(jié)論；
（2）先根據(jù)A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出直線AC的解析式及AC的長，當(dāng)CD⊥AC時(shí)，利用待定系數(shù)法求出直線AD的解析式，由AC=CD可得出D點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出直線AD的解析式，求出直線AD與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)即可；當(dāng)AD⊥AC時(shí)，同理可得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+4與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A左B右），與y軸交于點(diǎn)C，
∴C（0，4），
∵AB=4，
∴A（-2，0），B（2，0），
∴4a+4=0，解得a=-1，
∴拋物線的解析式為y=-x²+4；

（2）方法一：設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵A（-2，0），C（0，4），
∴

-2k+b=0 b=4

，解得

k=2 b=4

，
∴直線AC的解析式為y=2x+4，AC=

(-2)2+42

=2

5

，
當(dāng)CD⊥AC時(shí)，
設(shè)直線CD的解析式為y=-

1

2

x+a，
∵C（0，4），
∴a=4，
∴直線CD的解析式為y=-

1

2

x+4，
設(shè)D（x，-

1

2

x+4），
∵AC=CD，
∴CD²=AC²，即x²+（-

1

2

x）²=20，解得x=4或x=-4（舍去）
∴D（4，2），
設(shè)直線AD的解析式為y=k₁x+b₁，
∴

-2k1+b1=0 4k1+b1=2

，解得

k1= 1 3 b1= 2 3

，
∴直線AD的解析式為y=

1

3

x+

2

3

，
∴

y= 1 3 x+ 2 3 y=-x2+4

，解得

x= 5 3 y= 11 9

或

x=-2 y=0

（舍去），
∴P（

5

3

，

11

9

）；
當(dāng)AD⊥AC時(shí)，同理可設(shè)直線AD的解析式為y=-

1

2

x+m，
∵A（-2，0），
∴1+m=0，解得m=-1，
∴直線AD的解析式為y=-

1

2

x-1，
∴設(shè)P（x，-

1

2

x-1），
∵AC=AD，
∴（x+2）²+（-

1

2

x-1）²=20，解得x=-10±

2 105

5

（舍去）．
∴此種情況不存在．
故P點(diǎn)坐標(biāo)為（

5

3

，

11

9

）．

方法二：過點(diǎn)D作DE垂直y軸，
∵∠ACO+∠CDO=90°，∠DCE+∠CDE=90°，
∴∠ACO=∠CDE，
在△AOC和△CED中

∠AOC=∠CED ∠OCA=∠CDE AC=CD

∴△AOC≌△CED（AAS），
∴CO=ED=4，CE=AO=2，
∴D（4，2），
將A（-2，0），D（4，2）代入y=kx+b得：

-2k+b=0 4k+b=2

，
解得：

k= 1 3 b= 2 3

，
∴AP所在解析式為：y=

1

3

x+

2

3

，
∴將兩函數(shù)聯(lián)立得：

y=-x2+4 y= 1 3 x+ 2 3

，
解得：

x1= 5 3 y1= 11 9

，

x2=-2 y2=0

（不合題意舍去），
∴故P點(diǎn)坐標(biāo)為（

5

3

，

11

9

）．

點(diǎn)評：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及二次函數(shù)的解析式等知識，在解答（2）時(shí)要進(jìn)行分類討論．