Question

已知拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中點B在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，線段OB、OC的長（OB＜OC）是方程x²-10x+16=0的兩個根，且拋物線的對稱軸是直線x=-2．
（1）求A、B、C三點的坐標；
（2）求此拋物線的表達式；
（3）連接AC、BC，若點E是線段AB上的一個動點（與點A、點B不重合），過點E作EF∥AC交BC于點F，連接CE，設AE的長為m，△CEF的面積為S，求S與m之間的函數關系式，并寫出自變量m的取值范圍；
（4）在（3）的基礎上試說明S是否存在最大值？若存在，請求出S的最大值，并求出此時點E的坐標，判斷此時△BCE的形狀；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先解一元二次方程，得到線段OB、OC的長，也就得到了點B、C兩點坐標，根據拋物線的對稱性可得點A坐標；
（2）把A、B、C三點代入二次函數解析式就能求得二次函數解析式；
（3）易得S_△EFF=S_△BCE-S_△BFE，只需利用平行得到三角形相似，求得EF長，進而利用相等角的正弦值求得△BEF中BE邊上的高；
（4）利用二次函數求出最值，進而求得點E坐標．OC垂直平分BE，那么EC=BC，所求的三角形是等腰三角形．
解答：解：（1）解方程x²-10x+16=0得x₁=2，x₂=8 （1分）
∵點B在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，且OB＜OC
∴點B的坐標為（2，0），點C的坐標為（0，8）
又∵拋物線y=ax²+bx+c的對稱軸是直線x=-2
∴由拋物線的對稱性可得點A的坐標為（-6，0）（2分）

（2）∵點C（0，8）在拋物線y=ax²+bx+c的圖象上
∴c=8，將A（-6，0）、B（2，0）代入表達式，
得：
解得
∴所求拋物線的表達式為y=-x²-x+8（5分）

（3）依題意，AE=m，則BE=8-m，
∵OA=6，OC=8，
∴AC=10
∵EF∥AC
∴△BEF∽△BAC
∴=，即=
∴EF=（6分）
過點F作FG⊥AB，垂足為G，
則sin∠FEG=sin∠CAB=
∴=
∴FG=•=8-m
∴S=S_△BCE-S_△BFE
=（8-m）×8-（8-m）（8-m）
=（8-m）（8-8+m）
=（8-m）m
=-m²+4m（8分）
自變量m的取值范圍是0＜m＜8 （9分）

（4）存在．
理由：∵S=-m²+4m=-（m-4）²+8且-＜0，
∴當m=4時，S有最大值，S_最大值=8 （10分）
∵m=4，
∴點E的坐標為（-2，0）
∴△BCE為等腰三角形．
點評：本題綜合考查一元二次方程的解法；用待定系數法求二次函數解析式；以及求二次函數的最值等知識點．