Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，點(diǎn)D為AC中點(diǎn)，點(diǎn)E為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，且∠FDE=90°．
（1）當(dāng)DF∥AB時(shí)，連接EF，求∠DEF的余切值；
（2）當(dāng)點(diǎn)F在線段BC上時(shí)，設(shè)AE=x，BF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
（3）連接CE，若△CDE為等腰三角形，求BF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)，再由三角形的中位線定理求出DF、DE的長(zhǎng)，由銳角三角函數(shù)的定義即可求出∠DEF的余切值；
（2）過點(diǎn)E作EH⊥AC于點(diǎn)H，由平行線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)可求出HE、HD的表達(dá)式，再由相似三角形的判定定理求出△HDE∽△CFD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）先分析出△DCE為等腰三角形時(shí)的兩種情況，再根據(jù)題意畫出圖形，當(dāng)DC=DE時(shí)，點(diǎn)F在邊BC上，過點(diǎn)D作DG⊥AE于點(diǎn)G，可求出AE的長(zhǎng)度，由AE的長(zhǎng)可判斷出F的位置，進(jìn)而可求出BF的長(zhǎng)；當(dāng)ED=EC時(shí)，先判斷出點(diǎn)F的位置，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及判定定理即可解答．
解答：解：（1）∵AC=BC=6，∠ACB=90°，
∴，
∵DF∥AB，，
∴，（1分）
∴，（1分）
在Rt△DEF中，；（2分）

（2）過點(diǎn)E作EH⊥AC于點(diǎn)H，設(shè)AE=x，
∵BC⊥AC，
∴EH∥BC，
∴∠AEH=∠B，
∵∠B=∠A，
∴∠AEH=∠A，，（1分）
∴，
又可證△HDE∽△CFD，
∴，（1分）
∴，
∴；（2分）

（3）∵，CD=3，
∴CE＞CD，
∴若△DCE為等腰三角形，只有DC=DE或ED=EC兩種可能．（1分）
當(dāng)DC=DE時(shí)，點(diǎn)F在邊BC上，過點(diǎn)D作DG⊥AE于點(diǎn)G（如圖①）
可得：，即點(diǎn)E在AB中點(diǎn)，
∴此時(shí)F與C重合，
∴BF=6；（2分）
當(dāng)ED=EC時(shí)，點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上，
過點(diǎn)E作EM⊥CD于點(diǎn)M，（如圖②）
可證：
∵EM⊥CD，
∴△DME是直角三角形，
∵DE⊥DF，
∴∠EDM+∠FDC=90°，
∵∠FDC+∠F=90°，
∴∠F=∠EDM．
∴△DFC∽△DEM，
∴，
∴，
∴CF=1，∴BF=7，（2分）
綜上所述，BF為6或7．
點(diǎn)評(píng)：本題是一道綜合題，涉及到銳角三角函數(shù)的定義、直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，涉及面較廣，難度較大．