Question

在四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B≠90°，點E、F分別是對角線AC、BD的中點．
（1）請畫出符合條件的圖形，連接EF，試判斷線段EF與線段AC之間有怎樣的關系，并證明你所得到的結論．
（2）當EF=時，求∠ADC的大小．

Answer 1

解：（1）如圖，EF垂直平分AC．理由如下：
連接AE、CE，
∵∠A=∠C=90°，
點E、F分別是對角線AC、BD的中點，
∴AE=CE=，
∴EF垂直平分AC．

（2）∵EF=，AE=CE=，
∴EF=．
∵EF⊥AC，∠ECA=∠EAC=30°，
∴∠AEC=180°-∠ECA-∠EAC=120°，
∵AE=DE=，
∴∠AEB=∠ADE+∠DAE，=2∠ADE，
∴∠ADE=，
同理∠CDE=，
如圖1，∠ADC=+==60°；
如圖2，∠ADC=+==120°．
答：∠ADC的大小是60°或120°．
分析：（1）根據(jù)直角三角形斜邊上中線推出AE=CE，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)推出即可；
（2）推出EF=，推出∠ECA=∠EAC=30°，根據(jù)三角形外角性質(zhì)和等腰三角形性質(zhì)求出∠ADE=，∠CDE=，代入求出即可．
點評：本題主要考查對等腰三角形的性質(zhì)，含30度角直角三角形性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)等知識點的理解和掌握，綜合運用性質(zhì)進行推理是解此題的關鍵．