Question

如圖△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10，D是BC邊的中點，以AD上一點O為圓心的圓與AB，BC都相切，則⊙O的半徑為（ ）

A．
B．
C．
D．2

Answer 1

【答案】分析：過點0作OE⊥AB于點E，OF⊥BC于點F．根據(jù)切線的性質，知OE、OF是⊙O的半徑；然后由三角形的面積間的關系（S_△ABO+S_△BOD=S_△ABD=S_△ACD）列出關于圓的半徑的等式，求得圓的半徑即可．
解答：解：過點0作OE⊥AB于點E，OF⊥BC于點F．
∵AB、BC是⊙O的切線，
∴點E、F是切點，
∴OE、OF是⊙O的半徑；
∴OE=OF；
在△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10，
∴由勾股定理，得
BC=8；
又∵D是BC邊的中點，
∴S_△ABD=S_△ACD，
又S_△ABD=S_△ABO+S_△BOD，
∴AB•OE+BD•OF=CD•AC，即10×OE+4×0E=4×6，
解得，OE=，
∴⊙O的半徑是；
故選A．
點評：本題考查了切線的性質與三角形的面積．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．