Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，點D為AB的中點，點P在線段BC上以1cm/s的速度由B點向C點運動，同時點Q在線段CA上由C點向A點運動．
（1）若點Q的運動速度與P點相同，經(jīng)過3s后，△BPD與△CQP是否全等？請說明理由；
（2）若點Q的運動速度與P點不相同，當(dāng)點Q的運動速度為多少時，能夠使△BPD與△CQP全等？
（3）若點Q以（2）中的速度從C點出發(fā)，P點以原來的速度從B點同時出發(fā)，都沿△ABC三邊逆時針運動，求經(jīng)過多長時間，P點與Q點第一次在△ABC的什么位置上相遇？

Answer 1

考點：全等三角形的判定

專題：動點型

分析：（1）根據(jù)題意BP=3，CQ=3，求出BD=CP=5，再由∠B=∠C，即可證明△BPD≌△CQP；
（2）分類討論：①當(dāng)BP=CP時，②當(dāng)BP=CQ時，分別求出t的值即可得出結(jié)果；
（3）兩點相遇時，路程差為10+10，即可求出時間t的值．

解答：解：（1）經(jīng)過3秒后，△BPD≌△CQP；此時BP=3，CQ=3，
∵D是AB的中點，AB=AC=10，BC=8，
∴BD=5，CP=8-3=5，∠B=∠C，
∴BP=CQ，BD=CP，
在△BPD和△CQP中，

BP=CQ   ∠B=∠C   BD=CP

 
∴△BPD≌△CQP（SAS）；
（2）∵∠B=∠C，
∴PD與PQ是對應(yīng)邊，
若△BPD≌△CQP，設(shè)點Q的速度為xcm/s，時間為t秒；
分兩種情況：①當(dāng)BP=CP時，CQ=BD=5，
∵BC=8，
∴BP=4，t=4，
∴x=5÷4=

5

4

；
②當(dāng)BP=CQ時，xt=t，x=1，不合題意；
綜上所述：Q的運動速度為

5

4

cm/s時，△BPD≌△CQP；
（3）設(shè)經(jīng)過t秒時，兩點第一次相遇；根據(jù)題意得：

5

4

t-t=10+10，
解得：t=80，
∵80÷（10+10+8）=3…16，
即經(jīng)過100秒，P點與Q點第一次在AB邊上距離B點4cm處相遇．

點評：本題考查了全等三角形的判定方法；特別是利用分類討論的方法討論三角形全等的情況，培養(yǎng)學(xué)生綜合解題的能力．