Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點D，過點D作⊙O的切線，交BC于點E.

（1）求證：點E是邊BC的中點；

（2）若EC=3，BD=，求⊙O的直徑AC的長度；

（3）若以點O，D，E，C為頂點的四邊形是正方形，試判斷△ABC的形狀，并說明理由.

Answer 1

（1）證明：連接DO，

∵∠ACB=90°，AC為直徑，

∴EC為⊙O的切線，

又∵ED也為⊙O的切線，

∴EC=ED.

又∵∠EDO=90°，

∴∠BDE+∠ADO=90°，

∴∠BDE+∠A=90°，

又∵∠B+∠A=90°

∴∠BDE=∠B，

∴EB=ED.

∴EB=EC，即點E是邊BC的中點.

（2）∵BC，BA分別是⊙O的切線和割線，

∴BC²=BD?BA，

∴（2EC）²= BD?BA，即BA?=36，

∴BA=，

在Rt△ABC中，由勾股定理得

AC===.

（3）△ABC是等腰直角三角形.

理由：∵四邊形ODEC為正方形，

∴∠DOC=∠ACB=90°，即DO∥BC，

又∵點E是邊BC的中點，

∴BC=2OD=AC,

∴△ABC是等腰直角三角形.