【題目】如圖,過拋物線y= x2﹣2x上一點A作x軸的平行線,交拋物線于另一點B,交y軸于點C,已知點A的橫坐標為﹣2.

(1)求拋物線的對稱軸和點B的坐標;
(2)在AB上任取一點P,連結OP,作點C關于直線OP的對稱點D;
①連結BD,求BD的最小值;
②當點D落在拋物線的對稱軸上,且在x軸上方時,求直線PD的函數(shù)表達式.

【答案】
(1)

解:由題意A(﹣2,5),對稱軸x=﹣ =4,

∵A、B關于對稱軸對稱,

∴B(10,5).


(2)

解:①如圖1中,

由題意點D在以O為圓心OC為半徑的圓上,

∴當O、D、B共線時,BD的最小值=OB﹣OD= ﹣5=5 ﹣5.

②如圖中,

當點D在對稱軸上時,在Rt△ODE中,OD=OC=5,OE=4,

∴DE= = =3,

∴點D的坐標為(4,3).

設PC=PD=x,在Rt△PDK中,x2=(4﹣x)2+22

∴x= ,

∴P( ,5),

∴直線PD的解析式為y=﹣ x+


【解析】(1)思想確定點A的坐標,利用對稱軸公式求出對稱軸,再根據(jù)對稱性可得點B坐標;(2)①由題意點D在以O為圓心OC為半徑的圓上,推出當O、D、B共線時,BD的最小值=OB﹣OD;②當點D在對稱軸上時,在Rt△OD=OC=5,OE=4,可得DE= = =3,求出P、D的坐標即可解決問題;
【考點精析】通過靈活運用拋物線與坐標軸的交點,掌握一元二次方程的解是其對應的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點坐標.因此一元二次方程中的b2-4ac,在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點.當b2-4ac>0時,圖像與x軸有兩個交點;當b2-4ac=0時,圖像與x軸有一個交點;當b2-4ac<0時,圖像與x軸沒有交點.即可以解答此題.

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