Question

如圖，AC是⊙O的直徑，OB是⊙O的半徑，PA切⊙O于點(diǎn)A，PB與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，∠COB＝∠APB．

（1）求證：PB是⊙O的切線；

（2）當(dāng)OB＝3，PA＝6時(shí)，求MB、MC的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）∵AC是⊙O的直徑， PA切⊙O于點(diǎn)A，∴PA⊥OA………………………（1分）

        ∴在Rt△MAP中，∠M＋∠P＝90º，而∠COB＝∠APB，∴∠M＋∠COB＝90º（2分）

        ∴∠OBM＝90º，即OB⊥BP，∴PB是⊙O的切線…………………………（3分）

（2）注意到△MOB∽△MPA，且相似比為1 : 2 …………………………………（4分）

         設(shè)MB＝x，則MA＝2x，MO＝2x－3，∴MP＝4x－6，……………………（6分）

         在Rt△AMP中，(4x－6)²－(2x)²＝6²，解得x＝4或0（舍去）………………（7分）

∴MB＝4，MC＝2………………………………………………………………（8分）