Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，將△ABC繞B點作順時針旋轉(zhuǎn)得到△DBE，點C、B、D在同一直線上．經(jīng)過C、D、E三點作⊙O，延長EB交⊙O于F，連結(jié)FC．
（1）請判猜想三角形BCF與△BDE關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）若BC=3，AC=4．求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BE=BC，再由∠CBF=∠EBD，∠BCF=∠BED，利用AAS可證明△BCF≌△BDE；
（2）連接DF，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BE=BC=3，DE=AC=4，∠E=∠ACB=90°，在Rt△BED中求出BD，繼而得出BF，在Rt△EFD中求出DF，繼而可得⊙O的半徑．

解答：（1）答：△BCF≌△BDE．
證明如下：
∵△DBE是由△ABC旋轉(zhuǎn)得到，
∴BC=BE，
在△BCF和△BED中，

∠CBF=∠EBD ∠BCF=∠BED BC=BE

，
∴△BFC≌△BDE（AAS）．

（2）解：連結(jié)DF，

∵△DBE是由△ABC旋轉(zhuǎn)得到，
∴△DBE≌△ABC，
∴BE=BC=3，DE=AC=4，∠E=∠ACB=90°，
∴DF為⊙O的直徑，且BD=

BE2+DE2

=

32+42

=5，
∵△BFC≌△BDE，
∴BF=BD=5，
∴EF=BF+BE=5+3=8，
在Rt△DEF中，DF=

DE2+EF2

=

42+82

=4

5

，
∴⊙O的半徑為2

5

．

點評：本題考查了圓的綜合，涉及了圓周角定理、全等三角形的判定與性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解答本題需要同學們掌握基本的性質(zhì)定理，融會貫通，注意數(shù)形結(jié)合思想的運用．