Question

（2003•常州）當(dāng)你進(jìn)入博物館的展覽廳時(shí)，你知道站在何處觀賞最理想？
如圖，設(shè)墻壁上的展品最高處點(diǎn)P距離地面a米，最低處點(diǎn)Q距離地面b米，觀賞者的眼睛點(diǎn)E距離地面m米，當(dāng)過P、Q、E三點(diǎn)的圓與過點(diǎn)E的水平線相切于點(diǎn)E時(shí)，視角∠PEQ最大，站在此處觀賞最理想．
（1）設(shè)點(diǎn)E到墻壁的距離為x米，求a、b、m、x的關(guān)系式；
（2）當(dāng)a=2.5，b=2，m=1.6，求：
（ⅰ）點(diǎn)E和墻壁距離x；
（ⅱ）最大視角∠PEQ的度數(shù)．（精確到1度）

Answer 1

【答案】分析：（1）可根據(jù)切割線定理得出HE²=HQ•HP，HE=x，然后根據(jù)PR=a，QR=b，HR=m，來表示出HQ，HR，即可得出這四個(gè)未知數(shù)的關(guān)系式．
（2）①根據(jù)（1）中得出的關(guān)系式，將a、b、m的值代入其中即可得出x的值．
②可先在直角三角形PEH中求出∠PEH的度數(shù)，然后在直角三角形HEQ中求出∠HEQ的度數(shù)，這兩個(gè)角的差就是∠PEQ的度數(shù)．
解答：解：（1）由題意可知：據(jù)PR=a，QR=b，HR=m，HE=x，
∴HQ=QR-HR=b-m，PH=PR-HR=a-m，
∵HE是圓O的切線，
∴HE²=HQ•HP，
∴x²=（a-m）（b-m）．

（2）①根據(jù)（1）中得出的x²=（a-m）（b-m），
∴x²=（2.5-1.6）×（2-1.6）=0.36，
∴x=0.6．
②在直角三角形PHE中，EH=0.6，PH=0.9，
∴tan∠PEH==，
因此∠PEH≈56.3°；
在直角三角形HQE中，QH=0.4，EH=0.6，
∴tan∠HEQ==，
因此∠HEQ≈33.7°；
∴∠PEQ=∠PEH-∠HEQ=56.3-33.7=22.6°．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了切割線定理，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)．用切割線定理得出a、b、m、x的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．