Question

如圖，在坐標(biāo)系中有一點(diǎn)A（-1，2），關(guān)于直線x=1對(duì)稱得點(diǎn)B，將點(diǎn)B向上平移m個(gè)單位得到點(diǎn)C，
（1）用m表示C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）在x軸上存在一點(diǎn)P（n，0），使PA+PC的值最小，求n的值．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)锳和B關(guān)于直線x=1對(duì)稱，所以可以求出B的坐標(biāo)，又因?yàn)镃是將點(diǎn)B向上平移m個(gè)單位得，根據(jù)平移的規(guī)律可得到C的坐標(biāo)；
（2）作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′C，其與x軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P．

解答：解（1）∵點(diǎn)A（-1，2），點(diǎn)B和點(diǎn)A關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，2），
∵將點(diǎn)B向上平移m個(gè)單位得到點(diǎn)C，
∴C點(diǎn)D的坐標(biāo)是（3，2+m）；

（2）作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′C，A′C與x軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，
則點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′（-1，-2），
設(shè)直線CA′的解析式為y=kx+b，
過(guò)點(diǎn)C（3，2+m）和A′（-1，-2），
∴

-k+b=-2  3k+b=2+m

，
解得：

k=1+ m 4 b=-1+ m 4

，
∴y=（1+

m

4

）x-1+

m

4

，
∵y=（1+

m

4

）x-1+

m

4

與x軸的交點(diǎn)就是y=0時(shí)，
即（1+

m

4

）x-1+

m

4

=0，
解得：x=

1- m 4

1+ m 4

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（

1- m 4

1+ m 4

，0）．
即存在這樣的點(diǎn)P使PA+PC的值最小，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（

1- m 4

1+ m 4

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，注意掌握兩點(diǎn)關(guān)于某條直線對(duì)稱，橫縱坐標(biāo)中有一個(gè)坐標(biāo)是相等的，另一坐標(biāo)為2×對(duì)稱軸-已知點(diǎn)的坐標(biāo)；凡是涉及最短距離的問(wèn)題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合本節(jié)所學(xué)軸對(duì)稱變換來(lái)解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)．