Question

已知互不相等的實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+

1

b

=b+

1

c

=c+

1

a

=t，則t=

±1

．

Answer 1

分析：首先設(shè)a+

1

b

=t，可得b=

1

t-a

，代入b+

1

c

=t，整理可得ct²-（ac+1）t+（a-c）=0 ①，又由c+

1

a

=t，可得ac+1=at②，將②代入①，即可得（c-a）（t²-1）=0，又由實(shí)數(shù)a，b，c互不相等，即可求得答案．

解答：解：設(shè)a+

1

b

=t，
則b=

1

t-a

，
代入b+

1

c

=t，得：

1

t-a

+

1

c

=t，
整理得：ct²-（ac+1）t+（a-c）=0 ①
又由c+

1

a

=t，可得ac+1=at②，
把②代入①式得ct²-at²+（a-c）=0，
即（c-a）（t²-1）=0，
又∵c≠a，
∴t²-1=0，
∴t=±1．
驗(yàn)證可知：b=

1

1-a

，c=

a-1

a

時(shí)，t=1； b=-

1

1+a

，c=-

a+1

a

時(shí)，t=-1．
∴t=±1．
故答案為：±1．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了對(duì)稱式和輪換對(duì)稱式的知識(shí)．此題難度比較大，注意設(shè)a+

1

b

=t，從而得到方程ct²-（ac+1）t+（a-c）=0 ①與ac+1=at②是解此題的關(guān)鍵．