Question

如圖，已知點C（4，0）是正方形AOCB的一個頂點，E是AB邊的中點．
（1）直接寫出點E的坐標(biāo)；
（2）若雙曲線（x＞0）經(jīng)過點E，且與BC交于點F，連接OE、OF．
①求△OEF的面積；
②探究：經(jīng)過點E是否存在直線L：y=mx+n，使得線段OE，直線L及x軸三者所圍成的三角形的面積等于△OEF的面積？若存在，求出直線L的關(guān)系式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵C點坐標(biāo)為（4，0），四邊形AOCB為正方形，
∴OC=BC=4，
∴B點坐標(biāo)為（4，4），
又∵E是AB邊的中點，
∴E點坐標(biāo)為（2，4）．

（2）①作EG⊥x軸于G，
∵S_△OEG=S_△OFC，
∴S_△OEG-S_△OHG=S_△OFC-S_△OHG，
∴S_△OH=S_{四邊形FHEC}，
∴S_△OEEF=S_梯形FCGE=（FC+EG）•GC=×（2+4）×2=6．
②存在．
∵由（1）可知，E點坐標(biāo)為（2，4），由（2）知_△OEEF=6，
∴設(shè)直線L與x軸的交點為（x，0），則|x|•FG=6，即|x|×4=6，解得x=±3，
∴直線L與x軸的交點為（±3，0），
當(dāng)直線經(jīng)過點（3，0）時，設(shè)直線L的解析式為y=kx+b（k≠0），
∴，解得
∴此時直線L的解析式為：y=-4x+12；
同理，當(dāng)當(dāng)直線經(jīng)過點（-3，0）時，設(shè)直線L的解析式為y=kx+b（k≠0），
∴，解得，
∴此時直線L的解析式為：y=x+．
故直線L的解析式為：y=-4x+12或y=x+．
分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)及C點坐標(biāo)，求出B點坐標(biāo)，再根據(jù)E是AB邊的中點，求出E點坐標(biāo)．
（2）①根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義，求出S_△OEG=S_△OFC，再根據(jù)S_△OEG-S_△OHG=S_△OFC-S_△OHG得知S_△EOH=S_{四邊形FHEC}，再根據(jù)S_△EOF=S_梯形FCGE，求出梯形面積即可．
②先設(shè)出直線與x軸的交點為x，再根據(jù)△OEF的面積列出關(guān)于x的方程，求出x的值即可．
點評：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式及三角形的面積公式，涉及面較廣，難度適中．