【答案】
分析:(1)由已知得OA=2,將線段OA繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)120°,則OB與x軸的正方向夾角為60°,過點B作BD⊥x軸于點D,解直角三角形可得OD、BD的長,可表示B點的坐標;
(2)直接將A、O、B三點坐標代入拋物線解析式的一般式,可求解析式;
(3)因為點A,O關(guān)于對稱軸對稱,連接AB交對稱軸于C點,C點即為所求,求直線AB的解析式,再根據(jù)C點的橫坐標值,求縱坐標;
(4)設(shè)P(x,y)(-2<x<0,y<0),用割補法可表示△PAB的面積,根據(jù)面積表達式再求取最大值時,x的值.
解答:解:(1)過點B作BD⊥x軸于點D,由已知可得:OB=OA=2,∠BOD=60°,
在Rt△OBD中,∠ODB=90°,∠OBD=30°
∴OD=1,DB=
∴點B的坐標是(1,
).(2分)
(2)設(shè)所求拋物線的解析式為y=ax
2+bx+c(a≠0),
由已知可得:
,
解得:a=
,b=
,c=0,
∴所求拋物線解析式為y=
x
2+
x.(4分)
(3)存在,
由y=
x
2+
x配方后得:y=
(x+1)
2-
∴拋物線的對稱軸為x=-1(6分)
(也可用頂點坐標公式求出)
∵點C在對稱軸x=-1上,△BOC的周長=OB+BC+CO;
∵OB=2,要使△BOC的周長最小,必須BC+CO最小,
∵點O與點A關(guān)于直線x=-1對稱,有CO=CA
△BOC的周長=OB+BC+CO=OB+BC+CA
∴當A、C、B三點共線,即點C為直線AB與拋物線對稱軸的交點時,BC+CA最小,此時△BOC的周長最小.
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,則有:
,
解得:k=
,b=
,
∴直線AB的解析式為y=
x+
,(7分)
當x=-1時,y=
,
∴所求點C的坐標為(-1,
),(8分)
(4)設(shè)P(x,y)(-2<x<0,y<0),
則y=
x
2+
x①
過點P作PQ⊥y軸于點Q,PG⊥x軸于點G,過點A作AF⊥PQ軸于點F,過點B作BE⊥PQ軸于點E,
則PQ=-x,PG=-y,
由題意可得:S
△PAB=S
梯形AFEB-S
△AFP-S
△BEP(9分)
=
(AF+BE)•FE-
AF•FP-
PE•BE
=
(-y+
-y)(1+2)-
(-y)(x+2)-
(1-x)(
-y)
=
②
將①代入②,
化簡得:S
△PAB=-
x
2-
x+
(10分)
=
(x+
)
2+
∴當
時,△PAB得面積有最大值,最大面積為
.(11分)
此時
∴點P的坐標為
.(12分)
點評:本題考查了坐標系中點的坐標求法,拋物線解析式的求法,根據(jù)對稱性求線段和最小的問題,也考查了在坐標系里表示面積及求面積最大值等問題;
解答本題(4)也可以將直線AB向下平移至與拋物線相切的位置,聯(lián)立此時的直線解析式與拋物線解析式,可求唯一交點P的坐標.