Question

已知：如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
（1）當(dāng)BC=5，CE=4，AD=2，求CD的長(zhǎng)；
（2）若AB=AC，試證：=．

Answer 1

解（1）∵AB為⊙O的直徑，
∴∠BEC=∠BDA=90°，
又由∠C是公共角，
∴△BCE∽△ADC，
∴，
∵CE=4，BC=5，AD=2，
在Rt△BCE中，BE==3，
∴CD=；

（2）若AB=AC，則∠ABC=∠C，
∵AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵△BCE∽△ADC，
∴∠EBC=∠CAD，
∴∠EBD=∠BAD，
∴=．
分析：（1）由AB為⊙O的直徑，根據(jù)圓周角定理，可得∠BEC=∠BDA=90°，又由∠C是公共角，即可證得△BCE∽△ADC，然后利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得CD的長(zhǎng)；
（2）由AB=AC，利用等腰三角形的性質(zhì)，可得∠BAD=∠CAD，又由相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，易證得∠EBD=∠BAD，即可得=．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．