Question

（1）如圖1，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC 與BD 交于O，AC=BD．求證：△OAB是等腰三角形．
（2）某路口設立了交通路況顯示牌（如圖2）．已知立桿AB 高度是3m，從側面D點測得顯示牌頂端C點和底端B點的仰角分別是60°和45°．求路況顯示牌BC的高度．

Answer 1

分析：（1）根據AC⊥BC，BD⊥AD，可得∠D=∠C=90°，然后根據AC=BD，AB=BA，得出Rt△ABC≌Rt△BAD，然后可得∠DBA=∠CAB，繼而證明△OAB為等腰三角形；
（2）在Rt△ABD中，知道了AB的長度，可用正切函數求出鄰邊AD的長；同理在Rt△ADC中，知道了AD的長度，用正切值即可求出對邊AC的長，進而由BC=AC-AB得解．

解答：（1）證明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠D=∠C=90°，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∵

AB=BA AC=BD

，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
∴∠DBA=∠CAB，
∴△OAB是等腰三角形；

（2）解：在Rt△ADB中，
∵∠BDA=45°，AB=3，
∴DA=3，
在Rt△ADC中，∠CDA=60°，
∴tan60°=

CA

AD

，
∴CA=3

3

，
∴BC=CA-BA=（3

3

-3）米．
答：路況顯示牌BC的高度是（3

3

-3）米．

點評：本題考查了全等三角形的判定以及解直角三角形的應用，對于解直角三角形應用類題目，關鍵是構造直角三角形，掌握銳角三角函數的定義．