Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，點(diǎn)A關(guān)于對(duì)角線BD的對(duì)稱點(diǎn)F剛好落在腰DC上，連接AF交BD于點(diǎn)E，AF的延長(zhǎng)線與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，M，N分別是BG，DF的中點(diǎn)．

（1）求證：四邊形EMCN是矩形；
（2）若AD=2，S_梯形ABCD=，求矩形EMCN的長(zhǎng)和寬．

Answer 1

解：（1）證明：∵點(diǎn)A、F關(guān)于BD對(duì)稱，∴AD=DF，DE⊥AF。
又∵AD⊥DC，∴△ADF、△DEF是等腰直角三角形�！唷螪AF=∠EDF=45°。
∵AD∥BC，∴∠G=∠GAF=45°�！唷鰾GE是等腰直角三角形。
∵M(jìn)，N分別是BG，DF的中點(diǎn)，∴EM⊥BC，EN⊥CD。
又∵AD∥BC，AD⊥DC，∴BC⊥CD�！嗨倪呅蜤MCN是矩形。
（2）由（1）可知，∠EDF=45°，BC⊥CD，∴△BCD是等腰直角三角形�！郆C=CD，
∴S_梯形ABCD=（AD+BC）•CD=（2+CD）•CD=，即CD²+2CD﹣15=0。
解得CD=3，CD=﹣5（舍去）。
∵△ADF、△DEF是等腰直角三角形，∴DF=AD=2。
∵N是DF的中點(diǎn)，∴EN=DN=DF=×2=1。
∴CN=CD﹣DN=3﹣1=2。
∴矩形EMCN的長(zhǎng)和寬分別為2，1。

試題分析：（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得AD=DF，DE⊥AF，判斷出△ADF、△DEF是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠DAF=∠EDF=45°，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出∠BCE=45°，然后判斷出△BGE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得EM⊥BC，EN⊥CD，再根據(jù)矩形的判定證明即可。
（2）判斷出△BCD是等腰直角三角形，然后根據(jù)梯形的面積求出CD的長(zhǎng)，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出DN，即可得解。