如圖,四邊形OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片,點(diǎn)A在x軸上,點(diǎn)C在y軸上,將邊BC折疊,使點(diǎn)B落在邊OA的點(diǎn)D處.已知折疊CE=5,且tan∠EDA=
(1)判斷△OCD與△ADE是否相似?請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)求直線CE與x軸交點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)是否存在過(guò)點(diǎn)D的直線l,使直線l、直線CE與x軸所圍成的三角形和直線l、直線CE與y軸所圍成的三角形相似?如果存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出其解析式并畫(huà)出相應(yīng)的直線;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】分析:(1)證兩三角形相似,必須得出兩組對(duì)應(yīng)角相等,所求的兩個(gè)三角形中,已知了一組直角,因此只需找出另一組對(duì)應(yīng)角相等即可得出相似的結(jié)論.由于∠CDE為90°,那么∠CDO和∠EDA互余,而∠OCD也和∠CDO互余,因此根據(jù)同角的余角相等即可得出∠OCD=∠EDA,由此可證得兩三角形相似.
(2)本題的關(guān)鍵是求出C、E點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)∠EDA的正切值,可設(shè)AE=3t,那么DA=4t,DE=5t.則OC=AE+BE=AE+DE=8t,進(jìn)而可根據(jù)(1)的相似三角形得出的關(guān)于OC、CD、AD、DE的比例關(guān)系式,來(lái)求出CD的值,然后可在直角三角形CDE中求出t的值,即可得出AE、BC的長(zhǎng),即確定了E點(diǎn)的坐標(biāo),然后根據(jù)C,E兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出直線CE的解析式,即可求得直線CE與x軸交點(diǎn)P的坐標(biāo).
(3)應(yīng)該有兩條如圖
①直線BF,根據(jù)折疊的性質(zhì)可知CE必垂直平分BD,那么∠DGP=∠CGF=90°,而∠CFG=∠DPG(都是∠OCP的余角),由此可得出兩三角形相似,那么可根據(jù)B、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出此直線的解析式.
②直線DN,由于∠FCP=∠NDO,那么可根據(jù)∠OCE即∠BEC的正切值,求出∠NDO的正切值,然后用OD的長(zhǎng)求出ON的值,即可求出N點(diǎn)的坐標(biāo),然后根據(jù)N、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出直線DN的解析式.
解答:解:(1)△OCD與△ADE相似.
理由如下:
由折疊知,∠CDE=∠B=90°,
∴∠CDO+∠EDA=90°,
∵∠CDO+∠OCD=90°,
∴∠OCD=∠EOA.
又∵∠COD=∠DAE=90°,
∴△OCD∽△ADE.

(2)∵tan∠EDA=,
∴設(shè)AE=3t,則AD=4t,
由勾股定理得DE=5t,
∴OC=AB=AE+EB=AE+DE=3t+5t=8t.
由(1)△OCD∽△ADE,得
,
∴CD=10t.
在△DCE中,∵CD2+DE2=CE2,
∴(10t)2+(5t)2=(52,
解得t=1.
∴OC=8,AE=3,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,8),
點(diǎn)E的坐標(biāo)為(10,3),
設(shè)直線CE的解析式為y=kx+b,
,
解得
∴y=-x+8,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(16,0).

(3)滿(mǎn)足條件的直線l有2條:y1=-2x+12,y2=2x-12.
如圖:準(zhǔn)確畫(huà)出兩條直線.
點(diǎn)評(píng):本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、圖形的翻折變換、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn),主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,四邊形OABC為直角梯形,BC∥OA,∠O=90°,OA=4,BC=3,OC=4.點(diǎn)M從O出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向A運(yùn)動(dòng);點(diǎn)N從B同時(shí)出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向C運(yùn)動(dòng).其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)精英家教網(wǎng)動(dòng).過(guò)點(diǎn)N作NP⊥OA于點(diǎn)P,連接AC交NP于Q,連接MQ. 
(1)點(diǎn)
 
(填M或N)能到達(dá)終點(diǎn);
(2)求△AQM的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出自變量t的取值范圍.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,四邊形OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的正方形紙片.點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,點(diǎn)A在x軸上,點(diǎn)C在y軸上,OC=4,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),點(diǎn)N的坐標(biāo)為(3,0),過(guò)點(diǎn)N且平行于y軸的直線MN與EB交于點(diǎn)M.現(xiàn)將紙片折疊,使頂點(diǎn)C落精英家教網(wǎng)在MN上,并與MN上的點(diǎn)G重合,折痕為EF,點(diǎn)F為折痕與y軸的交點(diǎn).
(1)求點(diǎn)G的坐標(biāo);
(2)求折痕EF所在直線的解析式;
(3)設(shè)點(diǎn)P為直線EF上的點(diǎn),是否存在這樣的點(diǎn)P,使得以P,F(xiàn),G為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,四邊形OABC為正方形,點(diǎn)A在x軸上,點(diǎn)C在y軸上,點(diǎn)B(8,8),點(diǎn)P在邊OC上,點(diǎn)M在邊AB上.把四邊形OAMP沿PM對(duì)折,PM為折痕,使點(diǎn)O落在BC邊上的點(diǎn)Q處.動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)O出發(fā),沿OA邊以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,同時(shí)動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)O出發(fā),沿OC邊以相同的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)A時(shí),E、F同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).
(1)若點(diǎn)Q為線段BC邊中點(diǎn),直接寫(xiě)出點(diǎn)P、點(diǎn)M的坐標(biāo);
(2)在(1)的條件下,設(shè)△OEF與四邊形OAMP重疊面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式;
(3)在(1)的條件下,在正方形OABC邊上,是否存在點(diǎn)H,使△PMH為等腰三角形,若存在,求出點(diǎn)H的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(4)若點(diǎn)Q為線段BC上任一點(diǎn)(不與點(diǎn)B、C重合),△BNQ的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化,若不發(fā)生變化,求出其值,若發(fā)生變化,請(qǐng)說(shuō)明理由.
精英家教網(wǎng)

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(2012•呼倫貝爾)如圖,四邊形OABC是邊長(zhǎng)為2的正方形,反比例函數(shù)y=
k
x
的圖象過(guò)點(diǎn)B,則k的值為(  )

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附加題:如圖,四邊形OABC為直角梯形,已知AB∥OC,BC⊥OC,A點(diǎn)坐標(biāo)為(3,4),AB=6,若動(dòng)點(diǎn)P沿著O→A→B→C的方向運(yùn)動(dòng)(不包括O點(diǎn)和C點(diǎn)),P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路程為S,下列語(yǔ)句中正確的個(gè)數(shù)精英家教網(wǎng)是( 。
(1)直線OA的函數(shù)解析式為y=
4
3
x
;
(2)梯形OABC的周長(zhǎng)為24;
(3)若點(diǎn)P在線段AB上時(shí),P點(diǎn)的坐標(biāo)為(S-5,4)
(4)若點(diǎn)P在線段BC上時(shí),P點(diǎn)的坐標(biāo)為(9,15-S)
A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)

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