Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC，OE=

1

2

BC．
（1）求∠BAC的度數(shù)；
（2）將△ACD沿AC折疊為△ACF，將△ABD沿AB折疊為△ABG，延長FC和GB相交于點H；求證：四邊形AFHG是正方形；
（3）若BD=6，CD=4，求AD的長．

Answer 1

（1）連接OB和OC；
∵OE⊥BC，∴BE=CE；
∵OE=

1

2

BC，∴∠BOC=90°，∴∠BAC=45°；（2分）

（2）證明：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°；
由折疊可知，AG=AF=AD，∠AGH=∠AFH=90°，
∠BAG=∠BAD，∠CAF=∠CAD，（3分）
∴∠BAG+∠CAF=∠BAD+∠CAD=∠BAC=45°；
∴∠GAF=∠BAG+∠CAF+∠BAC=90°；
∴四邊形AFHG是正方形；（5分）

（3）由（2）得，∠BHC=90°，GH=HF=AD，GB=BD=6，CF=CD=4；
設(shè)AD的長為x，則BH=GH-GB=x-6，CH=HF-CF=x-4．（7分）
在Rt△BCH中，BH²+CH²=BC²，∴（x-6）²+（x-4）²=10²；
解得，x₁=12，x₂=-2（不合題意，舍去）；
∴AD=12． （8分）