Question

如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-2），交x軸于A、B兩點(diǎn)，其中A（-1，0），直線l：x=m（m＞1）與x軸交于D。

（1）求二次函數(shù)的解析式和B的坐標(biāo)；

（2）在直線l上找點(diǎn)P（P在第一象限），使得以P、D、B為頂點(diǎn)的三角形與以B、C、O為頂點(diǎn)的三角形相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；

（3）在（2）成立的條件下，在拋物線上是否存在第一象限內(nèi)的點(diǎn)Q，使△BPQ是以P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）①二次函數(shù)y=ax²+bx+c圖象的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-2），c = -2 ,  - , b=0 ,

點(diǎn)A(-1,0)、點(diǎn)B是二次函數(shù)y=ax²-2 的圖象與x軸的交點(diǎn)，a-2=0,a=2. 二次函數(shù)的解析式為y=2x²-2；

②點(diǎn)B與點(diǎn)A(-1,0)關(guān)于直線x=0對(duì)稱，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）；

（2）∠BOC=∠PDB=90º，點(diǎn)P在直線x=m上，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m,p）, OB=1， OC=2， DB= m-1 , DP=|p| ，

①當(dāng)△BOC∽△PDB時(shí)，,,p= 或p = ,

點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，）或（m，）；

②當(dāng)△BOC∽△BDP時(shí)， ，，p=2m-2或p=2-2m,

點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，2m-2）或（m，2-2m）；

綜上所述點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，）、（m，）、（m，2m-2）或（m，2-2m）；

（3）不存在滿足條件的點(diǎn)Q。

點(diǎn)Q在第一象限內(nèi)的拋物線y=2x²-2上，

令點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x, 2x²-2），x>1, 過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥直線l ,

垂足為E，△BPQ為等腰直角三角形，PB=PQ，∠PEQ=∠PDB，

∠EPQ=∠DBP，△PEQ≌△BDP，QE=PD，PE=BD，

①     當(dāng)P的坐標(biāo)為（m，）時(shí)，

m-x = ，              m=0            m=1

 2x²-2- = m-1,        x=           x=1

與x>1矛盾,此時(shí)點(diǎn)Q不滿足題設(shè)條件；

②     當(dāng)P的坐標(biāo)為（m，）時(shí)，

x-m=                      m=-           m=1

2x²-2- = m-1,            x=-           x=1

與x>1矛盾,此時(shí)點(diǎn)Q不滿足題設(shè)條件；

③     當(dāng)P的坐標(biāo)為（m，2m-2）時(shí)，

m-x =2m-2                 m=          m=1

2x²-2-(2m-2) = m-1,        x=-         x=1

與x>1矛盾,此時(shí)點(diǎn)Q不滿足題設(shè)條件；

④當(dāng)P的坐標(biāo)為（m，2-2m）時(shí)，

x- m = 2m-2           m=            m=1

2x²-2-(2-2m) = m-1     x=-            x=1

與x>1矛盾,此時(shí)點(diǎn)Q不滿足題設(shè)條件；

綜上所述，不存在滿足條件的點(diǎn)Q。