Question

二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于A（x₂，0）和B（x₁，0）兩點(diǎn)，A點(diǎn)在原點(diǎn)左方，B點(diǎn)在原點(diǎn)右方，與y軸交于C（0，y₁），且知C點(diǎn)在原點(diǎn)上方，y₁＞x₁，BC=10，x₁，y₁是方程x²-（k+9）x+3（k+11）=0的兩根，直線y=mx+n過A、C兩點(diǎn)，且tan∠CAB=4．
（1）求：A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求：過A、C兩點(diǎn)的一次函數(shù)的解析式；
（3）求：過A、B、C三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析：（1）由于x₁，y₁是方程x²-（k+9）x+3（k+11）=0的兩根，根據(jù)韋達(dá)定理可得出x₁+y₁=k+9，x₁y₁=3（k+11），根據(jù)BC=10，即x₁²+y₁²=100，聯(lián)立三式即可求出k的值，也就能求出x₁，y₁的值．得出B，C的坐標(biāo)后，根據(jù)tan∠CAB=4即可求出A點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）已知了A、C的坐標(biāo)，可用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式．
（3）可根據(jù)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)用待定系數(shù)法求解．

解答：解：（1）∵x₁，y₁是原方程的兩根，
∴

x1+y1=k+9 x1•y1=3(k+11)

，
又∵BC=10，
∴x₁²+y₁²=10²
即：（x₁+y₁）²-2x₁y₁=100，
∴（k+9）²-2×3（k+11）=100
即：k²+12k-85=0
∴k₁=5，k₂=-17
當(dāng)k=5時(shí)，∴

x1+y1=14 x1•y1=48

，
解得：

x1=6 y1=8

或

x1=8 y1=6

但∵y₁＞x₁
∴取

x1=6 y1=8

當(dāng)k=-17時(shí)，x₁+y₁=-17+9＜0
當(dāng)∵x₁＞0，y₁＞0
∴此時(shí)無解．
故：B（6，0），C（0，8），
∵tan∠CAB=4，即

y1

|x2|

=4，
∴|x₂|=2?x₂=-2或2
但∵x₂＜0，
∴只取x₂=-2
故：A（-2，0）．
（2）∵直線y=mx+n過A、C兩點(diǎn)
∴

0=-2m+n 8=n

，
解得：

m=4 b=8

故；過A、C兩點(diǎn)的一次函數(shù)的解析式為：y=4x+8．
（3）∵A（-2，0），B（6，0）兩點(diǎn)在此二次函數(shù)上，
∴可設(shè)此函數(shù)為：y=a（x+2）（x-6）
又∵C（0，8）在此二次函數(shù)上，
∴8=a（0+2）（0-6）?a=-

2

3

∴可設(shè)此函數(shù)為：y=-

2

3

（x+2）（x-6）
即：y=-

2

3

x²+

8

3

x+

24

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)韋達(dá)定理和BC的長(zhǎng)求出B、C的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．