Question

△ABC和△DBE是繞點B旋轉的兩個相似三角形，其中∠ABC與∠DBE、∠A與∠D為對應角．
（1）如圖1，若△ABC和△DBE分別是以∠ABC與∠DBE為頂角的等腰直角三角形，且兩三角形旋轉到使點B、C、D在同一條直線上的位置時，請直接寫出線段AD與線段EC的關系；
（2）若△ABC和△DBE為含有30°角的直角三角形，且兩個三角形旋轉到如圖2的位置時，試確定線段AD與線段EC的關系，并說明理由；
（3）若△ABC和△DBE為如圖3的兩個三角形，且∠ACB=α，∠BDE=β，在繞點B旋轉的過程中，直線AD與EC夾角的度數是否改變？若不改變，直接用含α、β的式子表示夾角的度數；若改變，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接AD、CE，然后證得△ABD≌△BCE，根據所得的等角和等邊來判斷AD、EC的關系．
（2）連接AD、EC并延長，設交點為點F，根據已知條件，易證得△ABD∽△CBE，得AB：BC=BD：BE，而∠1、∠2同為∠3的余角，則可證得△ABD=△CBE，得∠5=∠7+30°，而∠6=120°-∠5，由此可證得∠7+∠6=90°，即AD⊥CE．
（3）根據上面的求解過程可知：在繞點B旋轉的過程中，直線AD與EC夾角的度數不改變，解題思路和方法同（2）．

解答：解：（1）線段AD與線段CE的關系是AD⊥EC，AD=EC；（2分）
理由：連接AD、CE；
∵△ABC、△BED都是等腰直角三角形，
∴AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠EBD=90°，
∴△ABD≌△CBE，
∴AD=CE，∠DAB=∠BCE；
∵∠BEC+∠BCE=90°，
∴∠BEC+∠DAE=90°，即AD⊥CE；
故線段AD與線段EC的關系是AD⊥EC，AD=EC．

（2）如圖2，連接AD、EC并延長，設交點為點F；
∵△ABC∽△DBE，
∴

AB

BD

=

BC

BE

，
∴

AB

BC

=

BD

BE

．
∵∠ABC=∠DBE=90°，
∴∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°
∴∠1=∠2
∴△ABD∽△CBE．（4分）
∴

AD

CE

=

AB

BC

．
在Rt△ACB中，∠ACB=30°，tan∠ACB=

AB

BC

，∵tan30°=

3

3

，
∴

AD

CE

=

3

3

．（5分）
又∵∠DBE=90°，∠DEB=30°，
∴∠4=60°，
∴∠5+∠6=120°．
∵△ABD∽△CBE，
∴∠5=∠CEB=30°+∠7，
∴∠7=∠5-30°，∠6=120°-∠5，
∴∠7+∠6=90°，
∴∠DFE=90°
即AD⊥CE．（6分）

（3）在繞點B旋轉的過程中，直線AD與EC夾角的度數不改變，且∠AFE=（180-α-β）度．（8分）

點評：本題考查了圖形的旋轉變化以及相似三角形的判定和性質，理清圖中角與角之間的關系，是解答此題的關鍵．