Question

如圖，已知：⊙O₁、⊙O₂外切于點(diǎn)P，A是⊙O₁上一點(diǎn)，直線(xiàn)AC切⊙O₂于點(diǎn)C交⊙O₁于點(diǎn)B，直線(xiàn)AP交⊙O₂于點(diǎn)D．
（1）求證：PC平分∠BPD；
（2）將“⊙O₁、⊙O₂外切于點(diǎn)P”改為“⊙O₁、⊙O₂內(nèi)切于點(diǎn)P”，其它條件不變．（1）中的結(jié)論是否仍然成立？畫(huà)出圖形并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證PC平分∠BPD，即證∠BPC=∠CPD，可以過(guò)點(diǎn)P作兩圓的公切線(xiàn)PM交AC于點(diǎn)M，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得出∠BPM=∠A，∠MPC=∠C，再通過(guò)角與角相互間的關(guān)系得出；
（2）同（1），只是∠BPC=∠MPC-∠MPB=∠BCP-∠A=∠CPA．
解答：證明：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)P作兩圓的公切線(xiàn)MP，交AC于點(diǎn)M．
則∠BPM=∠A，∠MPC=∠C．
∴∠BPC=∠BPM+∠MPC=∠A+∠C=∠CPD，
∴PC平分∠BPD；


（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)P作兩圓的公切線(xiàn)PM，
則∠MPB=∠A，∠MPC=∠BCP=∠PDC；
∴∠BPC=∠MPC-∠MPB=∠BCP-∠A=∠CPA，
∴PC平分∠BPD．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了圓與圓的位置關(guān)系中角平分線(xiàn)的判斷，同時(shí)考查了切線(xiàn)的性質(zhì)．