Question

如圖1，線段AD、BC相交于點O，∠B=32°，∠D=38°

（1）若∠A=60°，求∠AOB和∠C的大小；
（2）如圖2，若∠BAO、∠DCO的角平分線AM、CM相交于點M，求∠M的大�。�
（3）若改變條件，設(shè)∠B=α，∠D=β，試用含α、β的代數(shù)式表示∠M的大�。�

Answer 1

考點：三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專題：

分析：（1）在△AOB中利用三角形內(nèi)角和定理可求得∠AOB，在△COD中可求得∠C；
（2）由條件可知∠M+∠BCM=∠B+∠BAM，再利用角平分線的定義可得到∠M=∠B+

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2

（∠BAO-∠DCO），而在△AOB和△COD中可得∠B+∠BAO=∠D+∠DCO，可求得∠BAO-∠DCO的大小，從而可求得∠M；
（3）類似（2）可以找到∠B、∠D和∠M之間的關(guān)系．

解答：解：
（1）∵∠B=32°，∠A=60°，
∴∠AOB=180°-32°-60°=88°，
∵∠A+∠B=∠C+∠D，
∴∠C=∠A+∠B-∠D=60°+32°-38°=54°；
（2）∵∠M+∠BCM=∠B+∠BAM，
∴∠M=∠B+∠BAM-∠BCM，
∵AM、CM分別平分∠BAO、∠BCD，
∴∠BAM=

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2

∠BAO，∠BCM=

1

2

∠DCO，
∴∠M=∠B+

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2

（∠BAO-∠DCO），
∵∠B+∠BAO=∠D+∠DCO，
∴∠BAO-∠DCO=∠D-∠B=38°-32°=6°，
∴∠M=32°+3°=35°；
（3）由（2）可知∠M=∠B+

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2

（∠BAO-∠DCO）=∠B+

1

2

（∠D-∠B）=

1

2

（∠B+∠D），
∵∠B=α，∠D=β，
∴∠M=

1

2

（α+β）．

點評：本題主要考查三角形內(nèi)角和定理及外角的性質(zhì)，在復(fù)雜圖形中能充分利用三角形內(nèi)角和定理及外角的性質(zhì)找到角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．