Question

已知：AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)G，E是直線AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B、G重合），直線DE交⊙O于點(diǎn)F，直線CF交直線AB于點(diǎn)P．設(shè)⊙O的半徑為r．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在直徑AB上時(shí)，試證明：OE•OP=；

（2）當(dāng)點(diǎn)E在AB（或BA）的延長線上時(shí)，以如圖2點(diǎn)E的位置為例，請(qǐng)你畫出符合題意的圖形，標(biāo)注上字母，（1）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)說明理由．

 

 

Answer 1

【答案】

（1）證明見解析；（2）成立， 理由見解析.

【解析】

試題分析：（1）要證等積式，需要將其化為比例式，再利用相似證明. 觀察圖形，此題顯然要連半徑OF，構(gòu)造OE、OP所在的三角形， 這樣問題便轉(zhuǎn)化為證明△FOE∽△POF.  而要證明△FOE∽△POF，由于已經(jīng)存在一個(gè)公共角，因此只需再證明另一角對(duì)應(yīng)相等即可，這一點(diǎn)利用圓周角定理及其推論可獲證.（2）同（1）類似.

試題解析：（1）連接FO并延長交⊙O于Q，連接DQ.

∵FQ是⊙O直徑，∴∠FDQ＝90°. ∴∠QFD＋∠Q＝90°.

∵CD⊥AB，∴∠P＋∠C＝90°.

∵∠Q＝∠C，∴∠QFD＝∠P.

∵∠FOE＝∠POF，∴△FOE∽△POF. ∴. ∴OE·OP＝OF²＝r².

（2）當(dāng)點(diǎn)E在AB（或BA）的延長線上時(shí)，（1）中的結(jié)論成立. 理由如下：

依題意畫出圖形（如圖），連接FO并延長交⊙O于M，連接CM.

∵FM是⊙O直徑，∴∠FCM＝90°. ∴∠M＋∠CFM＝90°.

∵CD⊥AB，∴∠E＋∠D＝90°.

∵∠M＝∠D，∴∠CFM＝∠E.

∵∠POF＝∠FOE，∴△POF∽△FOE. ∴. ∴OE·OP＝OF²＝r².

考點(diǎn)：1.圓周角定理；2.相似三角形的判定和性質(zhì)；3.三角形內(nèi)角和定理.