Question

如圖，AB為⊙O的直徑，C為半圓的中點(diǎn)，⊙C的半徑為2，AB=8，點(diǎn)P是直徑AB上的一動(dòng)點(diǎn)，PM與⊙C切于點(diǎn)M，則PM的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：連結(jié)PC、MC、OC、BC，如圖，利用垂徑定理的推理由C為半圓的中點(diǎn)得到OC⊥AB，則△OCB為等腰直角三角形，所以BC=

2

OC=4

2

，再根據(jù)切線的性質(zhì)得CM⊥PM，則利用勾股定理得到PM²=PC²-MC²=PC²-4，所以當(dāng)PC最小時(shí)，PM最小，此時(shí)點(diǎn)P在C點(diǎn)處，可計(jì)算出此時(shí)PM=2

3

；當(dāng)PC最大時(shí)，PM最大，此時(shí)點(diǎn)P在點(diǎn)A或B點(diǎn)時(shí)，可計(jì)算出此時(shí)PM=2

7

，然后寫出PM的取值范圍．

解答：解：連結(jié)PC、MC、OC、BC，如圖，
∵直徑AB=8，
∴OB=OC=4，
∵C為半圓的中點(diǎn)，
∴OC⊥AB，
∴△OCB為等腰直角三角形，
∴BC=

2

OC=4

2

，
∵PM與⊙C切于點(diǎn)M，
∴CM⊥PM，
∴∠PMC=90°，
在Rt△PMC中，PM²=PC²-MC²=PC²-4，
當(dāng)PC最小時(shí)，PM最小，此時(shí)點(diǎn)P在C點(diǎn)處，所以PM的最小值=

42-4

=2

3

；
當(dāng)PC最大時(shí)，PM最大，此時(shí)點(diǎn)P在點(diǎn)A或B點(diǎn)時(shí)，所以PM的最大值=

(4 2 )2-4

=2

7

，
∴PM的取值范圍為2

3

≤PM≤2

7

．
故答案為2

3

≤PM≤2

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．也考查了垂徑定理和勾股定理．