Question

已知：如圖，點B在y軸的負半軸上，點A在x軸的正半軸上，且OA=2，∠OAB=2。

（1）求點B的坐標(biāo)；
（2）求直線AB的解析式；
（3）若點C的坐標(biāo)為（-2,0），在直線AB上是否存在一點P，使ΔAPC與ΔAOB相似，若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）B(0,-4)（2）直線AB的解析式為y=2x-4（3）存在點P₁(-2,-8)， P₂(,-)，使ΔAPC與ΔAOB相似。

試題分析：解：（1）在Rt△ABC中，
∠OAB=
∵OA=2，∠OAB=2
∴OB=4
∵點B在y軸的負半軸上
∴B(0,-4)
(2) ∵OA=2     ∴A(2,0)
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b(k≠0)
則∴
∴直線AB的解析式為y=2x-4
（3）過C作P₁C∥OB交AB于P₁

這時ΔAPC與ΔAOB相似
當(dāng)x=-2時，y=-8
∴P₁(-2,-8)
過C作P₂CAB交AB于P₂,過P₂作P₁DAC于D
由ΔAOB∽ΔACP₂,求出AP₂=
由ΔAOB∽ΔADP₂,求出AD=∴OD=,
當(dāng)x=時，y=-
∴P₁(,-)
存在點P₁(-2,-8)， P₂(,-)，使ΔAPC與ΔAOB相似
點評：本題難度較大。主要考查學(xué)生對坐標(biāo)軸，解析式，三角函數(shù)值，證相似三角形等知識點的結(jié)合運用。一次函數(shù)直線解析式一般式為。求直線解析式時需要具備2個已知點坐標(biāo)，為解題關(guān)鍵。題（3）中求證點P是否存在使兩三角形相似。通過證相似三角形的判定定理我們可知必然需要得到兩三角形對應(yīng)角相等或者對應(yīng)邊比值相等的條件才能證相似。那么假設(shè)存在該點P使形成的三角形與已知的直角三角形相似，通過做輔助垂線，構(gòu)成兩組對應(yīng)角相等是解題關(guān)鍵，然后得到兩個P點，并通過點P在直線AB上，用直線AB解析式求出點P坐標(biāo)。