Question

如圖，已知P為∠AOB的邊OA上的一點(diǎn)，以P為頂點(diǎn)的∠MPN的兩邊分別交射線OB于M，N兩點(diǎn)，且∠MPN=∠AOB=α（α為銳角）。當(dāng)∠MPN以點(diǎn)P為旋轉(zhuǎn)中心，PM邊與PO重合的位置開始，按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（∠MPN保持不變）時(shí)，M，N兩點(diǎn)在射線OB上同時(shí)以不同的速度向右平行移動(dòng)。設(shè)OM=x，ON=y（y>x>0），△POM的面積為S，若sinα=，OP=2。

（1）當(dāng)∠MPN旋轉(zhuǎn)30° （即∠OPM=30° ）時(shí)，求點(diǎn)N移動(dòng)的距離；
（2）求證：△OPN∽△PMN；
（3）寫出y與x之間的關(guān)系式；
（4）試寫出S隨x變化的函數(shù)關(guān)系式，并確定S的取值范圍。

Answer 1

解：（1）∵且a為銳角，
∴a=60°，即，
∴初始狀態(tài)時(shí)，△PON為等邊三角形，
∴ON=OP=2，當(dāng)PM旋轉(zhuǎn)到PM′時(shí)，點(diǎn)N移動(dòng)到N′，
∵OPM′=30°，，
∴，
在Rt△OPM′中，，
∴，
∴點(diǎn)N移動(dòng)的距離為2
（2）在△OPN和△PMN中，

∴△OPN∽△PMN；
（3）∵M(jìn)N=ON-OM=y-x，
∴，
過P點(diǎn)作PD⊥OB，垂足為D，
在Rt△OPD中，OD=OP·cos60°=，
，
∴，
在Rt△PND中，，
∴，即；
（4）在Rt△OPM中，OM邊上的高PD為，
∴，
∵y>0，
∴2-x>0，即x<2，
又∵x≥0，
∴x的取值范圍是；
∵S是x的正比例函數(shù)，且比例系數(shù)，
∴，即。