Question

【題目】已知：拋物線y＝ax2﹣3ax+4與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），且AB＝5．

（1）如圖1，求拋物線的解析式；

（2）如圖2，拋物線與y軸交于點(diǎn)C，F是第四象限拋物線上一點(diǎn)，FD⊥x軸，垂足為D，E是FD延長線上一點(diǎn)，ER⊥y軸，垂足為R，FA交y軸于點(diǎn)Q，若BC∥RD．求證：OQ＝CR；

（3）在（2）的條件下，在RD上取一點(diǎn)M，延長OM交線段DE于點(diǎn)N，RE交拋物線于點(diǎn)T（點(diǎn)T在拋物線對(duì)稱軸的右側(cè)），連接MT、NT，且TM⊥OM，＝，H是AF上一點(diǎn)，當(dāng)∠DHF＝135°時(shí)，求點(diǎn)H的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）見解析；（3）點(diǎn)H（，﹣）

【解析】

y＝ax2﹣3ax+4的對(duì)稱軸為x＝﹣＝，且AB＝5,得到OB、OA的長度，再到點(diǎn)A點(diǎn)C的坐標(biāo)，從而求出拋物線解析式.

設(shè)點(diǎn)F（m，﹣m2+3m+4）,由 BC∥RD 和OQ∥DF，找到△AOQ∽△ADF，得出OQ＝OR.

點(diǎn)M作MG⊥OR，MP⊥RE，過點(diǎn)D作DK⊥AF，過點(diǎn)O作WO⊥ON，交ER的延長線于W，證明△MGO≌△MPT,再設(shè)設(shè)RM＝4t，TN＝5t，△WRO≌△NDO和△WTO≌△NTO，最后根據(jù)勾股定理和三角函數(shù)求解即可.

（1）∵拋物線y＝ax2﹣3ax+4的對(duì)稱軸為x＝﹣＝，且AB＝5，

∴OB＝＝4，OA＝﹣＝1，

∴點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)C（4，0），

∴0＝a+3a+4，

∴a＝﹣1，

∴拋物線y＝﹣x2+3x+4；

（2）設(shè)點(diǎn)F（m，﹣m2+3m+4）

∴OD＝m，DF＝m2﹣3m﹣4，

∵拋物線y＝﹣x2+3x+4與y軸交于點(diǎn)C，

∴點(diǎn)C（0，4），

∴OB＝OC＝4，

∵BC∥RD，

∴，

∴OR＝OD＝m﹣4，

∵OQ∥DF，

∴△AOQ∽△ADF，

∴，

∴

∴OQ＝m﹣4，

∴OQ＝OR；

（3）如圖，過點(diǎn)M作MG⊥OR，MP⊥RE，過點(diǎn)D作DK⊥AF，過點(diǎn)O作WO⊥ON，交ER的延長線于W，

∵∠ORD＝45°＝∠ERO，

∴∠ERD＝∠ORD，且MG⊥OR，MP⊥RE，

∴MG＝MP，

∵∠GMP＝∠TMO＝90°，

∴∠GMO＝∠PMT，且GM＝MP，∠MGO＝∠MPT＝90°，

∴△MGO≌△MPT（AAS）

∴OG＝PT，MO＝MT，

∵TM⊥ON，

∴∠TOM＝45°，

∵RO＝RG+GO＝RG+（RP﹣RT）＝RM+（RM﹣RT）

∴RO+RT＝RM，

∵＝，

∴設(shè)RM＝4t，TN＝5t，

∴RO+RT＝8t，

∵∠WON＝∠ROD，

∴∠WOR＝∠NOD，且RO＝OD，∠WRO＝∠NDO，

∴△WRO≌△NDO（ASA）

∴WO＝NO，WR＝DN，

∵∠TON＝∠TOW＝45°，OT＝OT，WO＝NO，

∴△WTO≌△NTO（SAS）

∴WT＝NT，

∴RT+WR＝RT+ND＝TN＝5t，

∴EN＝ED﹣ND＝RO﹣（5t﹣RT）＝RO+RT﹣5t＝8t﹣5t＝3t，

∴ET＝＝＝4t，

∴RO＝8t﹣RT＝4t+RT，

∴RT＝2t，RO＝6t，

∴T（2t，6t）

∴6t＝﹣4t2+6t+4；

∴t＝1或t＝﹣1（舍去）

∴RC＝2＝OQ，

∴AQ＝＝＝

∴tan∠QAO＝＝2，

∵∠DHF＝135°，

∴∠DHK＝45°，且DK⊥AF，

∴∠DHK＝∠KDH＝45°，

∴DK＝KH，

∵sin∠DAK＝ ＝，

∴DK＝7×＝

∴tan∠QAO＝＝2

∴AK＝

∴AH＝，

∵sin∠QAO＝＝＝，

∴HS＝，

∵tan∠QAO＝

∴AS＝，

∴OS＝，

∴點(diǎn)H（，﹣）