Question

如圖1，平移拋物線F₁：y＝x²后得到拋物線F₂．已知拋物線F₂經(jīng)過拋物線F₁的頂點(diǎn)M和點(diǎn)A（2，0），且對(duì)稱軸與拋物線F₁交于點(diǎn)B，設(shè)拋物線F₂的頂點(diǎn)為N．

⑴探究四邊形ABMN的形狀及面積（直接寫出結(jié)論）

⑵若將已知條件中的“拋物線F₁：y＝x²”改為“拋物線F₁：y＝ax²”（如圖2），“點(diǎn)A（2，0）”改為“點(diǎn)A（m，0）”，其它條件不變，探究四邊形ABMN的形狀及其面積，并說明理由．

⑶若將已知條件中的“拋物線F₁：y＝x²”改為“拋物線F₁：y＝ax²＋c，”（如圖3），“點(diǎn)A（2，0）”改為“點(diǎn)A（m，c）”其它條件不變，求直線AB與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)論）

 

Answer 1

解：(1)四邊形ABMN是正方形，其面積為2．……………………………2分

(2)四邊形ABMN是菱形.當(dāng)>0時(shí)，四邊形ABMN的面積為；當(dāng)<0時(shí)，四邊形ABMN的面積為 -………………………………………………………………2分

(說明：如果沒有說理過程，探究的結(jié)論正確的得2分)

理由：∵平移拋物線后得到拋物線，且拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O，

∴設(shè)拋物線的解析式為+．

∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（，0），

∴

依題可知∴，

∴拋物線的解析式為，…………………………………………3分

∴

∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)N（，）………………4分

∵拋物線的對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)為B，

∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為，

∵點(diǎn)B在拋物線：上，

∴=，……………………………5分

設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)P，

∵0∴BP=，

∵頂點(diǎn)N（，）

∴NP==，

∴BP =NP，…………………………………………6分

∵拋物線是軸對(duì)稱圖形，

∴OP =AP，

∴四邊形ABMN是平行四邊形，…………………7分

∵BN是拋物線的對(duì)稱軸，

∴BN⊥OA，

∴四邊形ABMN是菱形，…………………………8分

∵BN= BP +NP，

∴BN=，

∵四邊形ABMN的面積為OA=，

∴當(dāng)>0時(shí)（如圖1），四邊形ABMN的面積為=；………9分

當(dāng)<0時(shí)，四邊形ABMN的面積為（-）=．…………10分

(3)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，）（參考圖2）．………………………………12分