Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C是

AB

的中點，M是AC的中點，CH⊥BM于H，求證：OH=

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AH．

Answer 1

分析：連結(jié)OM，由C是

AB

的中點得CA=CB，由AB是⊙O的直徑得到∠ACB=90°，可判斷△ABC為等腰直角三角形，則∠CAB=∠CBA=45°，由于CH⊥BM，根據(jù)三角形相似的判定方法易得Rt△MHC∽Rt△MCB，利用相似比得MC²=MH•MB，而MC=MA，所以MA²=MH•MB，加上∠AMH=∠BMA，可判斷△MAH∽△MBA，得到∠MHA=∠MAB=45°；再利用OM為△ABC的中位線得到OM∥BC，則∠MOA=∠ABC=45°，∠AMO=∠ACB=90°，則∠MHA=∠MOA，根據(jù)四點共圓的判定方法得到點A、O、H、M共圓，然后根據(jù)圓周角定理得到∠AHO=∠AMO=90°，∠CMH=∠AOH，于是可判斷△CMB∽△HOA，根據(jù)相似的性質(zhì)得CM：OH=BC：AH，根據(jù)比例性質(zhì)得OH：AH=CM：BC=1：2，即OH=

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AH．

解答：證明：連結(jié)OM，如圖，
∵C是

AB

的中點，
∴CA=CB，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵CH⊥BM，
∴Rt△MHC∽Rt△MCB，
∴MC：MB=MH：MC，即MC²=MH•MB，
∵M是AC的中點，即MC=MA，
∴MA²=MH•MB，
而∠AMH=∠BMA，
∴△MAH∽△MBA，
∴∠MHA=∠MAB=45°，
∵OM為△ABC的中位線，
∴OM∥BC，
∴∠MOA=∠ABC=45°，∠AMO=∠ACB=90°，
∴∠MHA=∠MOA，
∴點A、O、H、M共圓，
∴∠AHO=∠AMO=90°，∠CMH=∠AOH，
∴△CMB∽△HOA，
∴CM：OH=BC：AH，
∴OH：AH=CM：BC=1：2，即OH=

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AH．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：有兩組角對應相等的兩個三角形相似；有兩組對應比的比相等，且它們的夾角相等的兩個三角形相似；相似三角形對應邊的比等于相等，都等于相似比．也考查了圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的判定與性質(zhì)．