Question

已知：拋物線y=x²+bx+c的對稱軸是x=2，且經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），且與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B，與y軸交于點(diǎn)C，
（1）確定此二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）將直線CD沿y軸向下平移3個(gè)單位長度，求平移后直線m的解析式．
（3）在直線m上是否存在一點(diǎn)E，使得以點(diǎn)E、A、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是梯形，如果存在，求出滿足條件的E點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）拋物線y=x²+bx+c的對稱軸是x=2，且經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），-

b

2

=2，0=1+b+c，可得b=-4，c=3，從而求出答案；
（2）設(shè)CD的解析式為：y=kx+b，把D（2，-1），C（0，3）代入即可求解，然后根據(jù)平移原則即可得出答案；
（3）過點(diǎn)C作CE∥AB交M于點(diǎn)E，由y=-2x，y=3即可求出E點(diǎn)的坐標(biāo)；過點(diǎn)A作E₁A∥BC交m于點(diǎn)E₁設(shè)CB解析式為y=kx+b，把經(jīng)過B（3，0），C（0，3）代入即可求解；設(shè)E₁A解析式為：y=-x+b，把點(diǎn)A（1，0）可求出b的值；再過點(diǎn)B作BE₃∥AC，則可求出E₃坐標(biāo)．

解答：解：（1）拋物線y=x²+bx+c的對稱軸是x=2，且經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）
-

b

2

=2，0=1+b+c，
∴b=-4，c=3
∴y=x²-4x+3
∴y=（x-2）²-1，
∴頂點(diǎn)D坐標(biāo)（2，-1）；

（2）設(shè)CD的解析式為：y=kx+b
∵D（2，-1），C（0，3），
∴3=b，-1=2k+b
解得：k=-2，b=3
∴DC的解析式為：y=-2x+3；
設(shè)平移后直線m的解析式為：y=-2x+k
∵直線CD沿y軸向下平移3個(gè)單位長度
∴直線m經(jīng)過原點(diǎn)
∴平移后直線m的解析式為：y=-2x；

（3）過點(diǎn)C作CE∥AB交M于點(diǎn)E
由y=-2x，∵y=3
∴x=-

3

2

，y=3
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（-

3

2

，3），
過點(diǎn)A作E₁A∥BC交m于點(diǎn)E₁
設(shè)CB解析式為y=kx+b
∵經(jīng)過B（3，0），C（0，3）
∴CB解析式為：y=-x+3
設(shè)E₁A解析式為：y=-x+b
∵E₁A過點(diǎn)A（1，0）
∴b=1
∴E₁A的解析式為y=-x+1
∵y=-2x
∴x=-1，y=2
∴E₁點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，2），
過點(diǎn)B作BE₃∥AC，
則可求E₃坐標(biāo)為：E₃（9，-18）．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)綜合題，難度較大，關(guān)鍵是掌握用代入法求解函數(shù)的解析式．