Question

22、已知半徑為R的⊙O′經過半徑為r的⊙O的圓心，⊙O與⊙O′交于E、F兩點．
（1）如圖1，連接OO′交⊙O于點C，并延長交⊙O′于點D，過點C作⊙O的切線交⊙O′于A、B兩點，求OA•OB的值；
（2）若點C為⊙O上一動點．
①當點C運動到⊙O′時，如圖2，過點C作⊙O的切線交⊙O′，于A、B兩點，則OA•OB的值與（1）中的結論相比較有無變化？請說明理由；
②當點C運動到⊙O′外時，過點C作⊙O的切線，若能交⊙O′于A、B兩點，如圖3，則OA•OB的值與（1）中的結論相比較有無變化？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接DB，則∠DBO=90°，由于AB切⊙O于點C，因此AB⊥OD，已知OD是⊙O′直徑，根據(jù)垂徑定理可得OA=OB，在直角三角形OBD中根據(jù)射影定理可得OB²=OC•OD=r•2R=2Rr．即OA•OB=2rR．（也可證明△OBD∽△OCA）
（2）①無變化，連接00′，并延長交⊙O′于D點，連接DB、OC．可通過證明△OCA∽△OBD來得出（1）的結論；
②無變化，連接OO′，并延長交⊙O′于B點，連接DB、OC同①相同通過證△OCA∽△OBD，得OA•OB=OC•OD=r•2R=2Rr．

解答：解：（1）連接DB，則∠DBO=90°
∵AB切⊙O于點C
∴AB⊥OD
又∵OD是⊙O′直徑
∴OA=OB
∴OA²=OC•OD=r•2R=2Rr
即OA•OB=2rR；


（2）①無變化
連接00′，并延長交⊙O′于D點，連接DB、OC．則∠DBO=∠ACO=90°
∵∠A=∠D
∴△OCA∽△OBD
∴OA•OB=OC•OD=r•2R=2Rr．
②無變化．
連接00′，并延長交⊙O′于B點，連接DB、OC，則∠DBO=∠ACO=90°
方法同①，
∵AB切⊙O于點C
∴AB⊥OD
又∵OD是⊙O′直徑
∴OA=OB
∴OA²=OC•OD=r•2R=2Rr
即OA•OB=OC•OD=2rR．

點評：考查圓與圓的位置關系，相似三角形的判定和性質的應用．