Question

已知：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD平分∠CAB．求證：AB=AC+CD．

Answer 1

證明：過D作DE⊥AB，垂足為E，
∵∠ACB=90°，
∴∠C=∠DEA，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠EAD，
∵在△ACD和△AED中
，
∴△ACD≌△AED；
∴AC=AE，CD=DE；
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠CAB=45°，
∴∠BDE=180°-90°-45°=45°
∴∠EDB=∠B，
∴CD=DE=EB；
∴AB=AE+EB=AC+CD．
分析：本題可通過構(gòu)建全等三角形來求解．過D作DE⊥AB于E，那么可得出△ACD≌△AED，因此AC=AE，下面只需證明DE=BE，即可得出所求的結(jié)論．由于△ABC是等腰直角三角形，因此△BDE也是等腰直角三角形，即DE=BE，由此可得證．
點評：本題主要考查角平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)；通過輔助線構(gòu)建全等三角形將所求的線段聯(lián)系到一起是解題的關(guān)鍵．