Question

如圖，在平面角直角坐標(biāo)系中，A（-2，0），B（0，3），C（3，0），D（0，2）．

（1）求證：AB=CD且AB⊥CD；
（2）以A為直角頂點(diǎn)在第二象限內(nèi)作等腰直角三角形ABE，過點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)P為y軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，以AP為直角邊作等腰直角三角形APQ，∠APQ=90°，QR⊥x軸于點(diǎn)R，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，OP-QR的值是否發(fā)生變化？若不變，求出其值；若變化，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）證明：延長CD交AB于點(diǎn)E．
∵A（-2，0），B（0，3），C（3，0），D（0，2），
∴OA=OD=2，OB=OC=3．
∵∠AOB=90°，∠DOC=90°，
∴∠AOB=∠DOC．
在△AOB和△DOC中．
，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
∴∠ABO=∠DCO．∠BAO=∠CDO．AB=CD．
∵∠BDE=∠CDO，
∴∠BAO=∠BDE．
∵∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠BDE+∠ABO=90°，
∴∠BED=90°，
∴AB⊥CD；

（2）∵三角形ABE是等腰直角三角形，
∴AE=AB，∠EAB=90°，
∴∠FAE+∠BAO=90°．
∵EF⊥x軸，
∴∠EFA=90°，
∴∠AEF+∠FAE=90°，
∴∠AEF=∠OAB．
∵∠AOB=90°，
∴∠EFA=∠AOB．
在△AEF和△BAO中，
，
∴△AEF≌△BAO（AAS），
∴AF=BO=3，
∴OF=2+3=5，
∴F（0，-5）．
答：F的坐標(biāo)為（0，-5）；
（3）OP-QR的值不變．
理由：作QF⊥OP于F，
∴∠PFQ=∠QFO=90°，
∴∠FPQ+∠FQP=90°．
∵三角形APQ是等腰直角三角形，
∴PA=PQ，∠APQ=90°，
∴∠APO+∠OPQ=90°．
∴∠APO=∠PQQF．
∵∠AOP=∠POR=90°，
∴∠AOP=∠PFQ．
在△AOP和△PFQ中，
，
∴△AOP≌△PFQ（AAS），
∴AO=PF．
∵QR⊥x軸，
∴∠QRA=90°．
∴∠QRA=∠POR=∠QFO=90°，
∴四邊形FORQ是矩形，
∴QR=FO．
∴OP-QR=OP-OF=PF，
∴OP-QR=OA．

分析：（1）延長CD交AB于點(diǎn)E，根據(jù)A（-2，0），B（0，3），C（3，0），D（0，2）可以求出OA=OD=2，OB=OC=3，證明△AOB≌△DOC就可以求出結(jié)論；
（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可以得出△AEF≌△BAO，就有AF=OB，從而求出F的坐標(biāo)；
（3）作QF⊥OP于F，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可以得出△AOP≌△PFQ，就有PF=OA，由矩形的性質(zhì)可以得出QR=OF，就可以得出OP-QR=PF=OA不發(fā)生變化．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)的運(yùn)用，等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，矩形的判定運(yùn)用的運(yùn)用，解答時(shí)運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)求解是關(guān)鍵．