Question

（2010•海曙區(qū)模擬）如圖△ABC，BC=2，AB=AC=

5

，D為BC中點(diǎn)，E為AC中點(diǎn)．
（1）求sin∠ABC；
（2）延長DE到F使EF=ED．求證：四邊形ADCF為矩形；
（3）若四邊形ABCF為一不可卷、折的板材，問該板材能否通過一直徑為1.8的圓洞門．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出BD的長度，然后根據(jù)勾股定理求出AD的長，再利用正弦=

對邊

斜邊

列式整理即可；
（2）先根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形證明四邊形ADCF是平行四邊形，然后根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形證明；
（3）求出最短處的寬度，也就是點(diǎn)C到AB的距離，如果小于1.8米，則能通過，否則，不能．

解答：（1）解：在△ABC中，∵AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，BD=

1

2

BC=1，
∴AD=

AB2-BD2

=

5 2-12

=2，
∴sin∠ABC=

AD

AB

=

2

5

=

2

5

5

；

（2）證明：∵E為AC的中點(diǎn)，
∴EA=EC，
又∵EF=ED，
∴四邊形ADCF是平行四邊形，
∵AD⊥BC（已證），
∴四邊形ADCF為矩形；

（3）由（2）知，CF=AD=2＞1.8，
又BC=2＞1.8，
∴過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，
在Rt△BCH中，CH=BC•sin∠ABC=2×

2

5

5

≈1.79＜1.8，
∴該板材能通過一直徑為1.8的圓洞門．

點(diǎn)評：本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，矩形的判定以及三角函數(shù)的定義，（3）中要注意找板材的寬度最小處，作出輔助線是解題的關(guān)鍵．