(2012•樊城區(qū)模擬)如圖,點O是坐標原點,四邊形ABCO是菱形,點A的坐標為(-3,4),點C在x軸的正半軸上,直線AC交y軸于點M,AB邊交y軸于點H.
(1)求B、C兩點坐標;
(2)拋物線y=
16
x2-bx+c經(jīng)過A、O兩點,求拋物線的解析式,并驗證點C是否在拋物線上;
(3)在x軸上是否存在一點P,使△PCM與△ABC相似?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
分析:(1)根據(jù)菱形的對邊平行可得AB∥OC,然后求出∠AHO=∠COH=90°,在根據(jù)點A的坐標求出OH、AH的長度,然后利用勾股定理列式計算求出OA的長度,再求出BH的長度即可得到點B的坐標,根據(jù)菱形的邊OC的長度可得點C的坐標;
(2)把點A、O的坐標代入拋物線解析式,解方程組求出b、c的值,即可得到拋物線解析式;然后把點C的坐標代入拋物線解析式,符合則點C在拋物線上;
(3)根據(jù)菱形的性質判定△AMH和△CMO相似,然后根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式求出MH與MO的比值,再根據(jù)OH的長度求出OM的長度,根據(jù)菱形的性質,△ABC是等腰三角形,所以①過點M作MP1∥BC交x軸于P1,利用兩組角對應相等,兩三角形相似可得△CMP1和△ACB相似,然后設OP1=m,表示出MP1,再利用勾股定理列出方程求解得到m的值,即可得到點P的坐標;②截取OP2=OC=5,根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得MP2=MC,再根據(jù)等邊對等角的性質以及菱形的性質可得∠MP2C=∠MCP2=∠ACB=∠BAC,然后得到△CP2M和△ACB相似,然后寫出點P的坐標即可.
解答:解:(1)在菱形ABCO中,OA=AB=BC=CO,AB∥OC,
所以,∠AHO=∠COH=90°,
∵點A的坐標為(-3,4),
∴OH=4,AH=3,
在Rt△AOH中,OA=
OH2+AH2
=
42+32
=5,
∴BH=5-3=2,
∴B(2,4)、C(0,5);

(2)把點A(-3,4)、O(0,0)代入拋物線解析式中得,
c=0
1
6
×(-3)2-(-3)b+c=4

解得
b=
5
6
c=0
,
所以,拋物線的解析式為y=
1
6
x2-
5
6
x,
當x=5時,y=
1
6
×52-
5
6
×5=0,
所以點C(5,0)在拋物線上;

(3)存在.理由如下:
在菱形ABCO中,AB∥OC,
∴∠BAC=∠OCA,
∠AHO=∠COH=90°,
∴△AMH∽△CMO,
MH
MO
=
AH
CO
=
3
5
,
∵OH=4,
∴OM=
5
8
OH=2.5,
①過M作MP1∥BC交x軸于P1
則∠CMP1=∠BCA,
∵∠BAC=∠OCA,
∴△CMP1∽△ACB,
在菱形ABCO中,∠ACB=∠ACO,
∴∠CMP1=∠ACO,
設OP1=m,則MP1=5-m,(m>0)
∴在Rt△MP1O中,
MP12=OP12+OM2,
即(5-m)2=m2+2.52,
解得m=1.875,
所以P1(1.875,0),
②截取OP2=OC=5,
∵OM⊥x軸,
∴MP2=MC,
∴∠MP2C=∠MCP2,
由上知:∠MP2C=∠MCP2=∠ACB=∠BAC,
∴△CP2M∽△ACB,
此時P2(-5,0),
綜上所述,P點有兩個,坐標為(1.875,0)和(-5,0).
點評:本題是二次函數(shù)綜合題型,主要考查了菱形的性質,勾股定理的應用,待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,相似三角形的判定,(3)因為相似三角形對應邊不確定,所以要分情況討論求解.
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-
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