Question

（2004•重慶）如圖，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=a，以斜邊AB上的點O為圓心的圓分別與AC、BC相切于點E、F，與AB分別相交于點G、H，且EH的延長線與CB的延長線交于點D，則CD的長為（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：連接OE、OF，由切線的性質結合結合直角三角形可得到正方形OECF，并且可求出⊙O的半徑為0.5a，則BF=a-0.5a=0.5a，再由切割線定理可得BF²=BH•BG，利用方程即可求出BH，然后又因OE∥DB，OE=OH，利用相似三角形的性質即可求出BH=BD，最終由CD=BC+BD，即可求出答案．
解答：解：∵△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=a，以斜邊AB上的點O為圓心的圓分別與AC、BC相切于點E、F，與AB分別相交于點G、H，且EH的延長線與CB的延長線交于點D
∴連接OE、OF，由切線的性質可得OE=OF=⊙O的半徑，∠OEC=∠OFC=∠C=90°
∴OECF是正方形
∵由△ABC的面積可知×AC×BC=×AC×OE+×BC×OF
∴OE=OF=a=EC=CF，BF=BC-CF=0.5a，GH=2OE=a
∵由切割線定理可得BF²=BH•BG
∴a²=BH（BH+a）
∴BH=或BH=（舍去）
∵OE∥DB，OE=OH
∴△OEH∽△BDH
∴
∴BH=BD，CD=BC+BD=a+．
故選B．
點評：本題需仔細分析題意，結合圖形，利用相似三角形的性質及切線的性質即可解決問題．