Question

如圖1，點(diǎn)P、Q分別是等邊△ABC邊AB、BC上的動點(diǎn)（端點(diǎn)除外），點(diǎn)P從頂點(diǎn)A、點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時出發(fā)，且它們的運(yùn)動速度相同，連接AQ、CP交于點(diǎn)M．
（1）求證：△ABQ≌△CAP；
（2）當(dāng)點(diǎn)P、Q分別在AB、BC邊上運(yùn)動時，∠QMC變化嗎？若變化，請說明理由；若不變，求出它的度數(shù)．
（3）如圖2，若點(diǎn)P、Q在運(yùn)動到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AB、BC上運(yùn)動，直線AQ、CP交點(diǎn)為M，則∠QMC變化嗎？若變化，請說明理由；若不變，則求出它的度數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，利用SAS證明△ABQ≌△CAP；
（2）由△ABQ≌△CAP根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠BAQ=∠ACP，從而得到∠QMC=60°；
（3）由△ABQ≌△CAP根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠BAQ=∠ACP，從而得到∠QMC=120°．
解答：（1）證明：∵△ABC是等邊三角形
∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA，
又∵點(diǎn)P、Q運(yùn)動速度相同，
∴AP=BQ，
在△ABQ與△CAP中，
∵，
∴△ABQ≌△CAP（SAS）；
（2）解：點(diǎn)P、Q在運(yùn)動的過程中，∠QMC不變．
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC=∠ACP+∠MAC，
∴∠QMC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°…（6分）
（3）解：點(diǎn)P、Q在運(yùn)動到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AB、BC上運(yùn)動時，∠QMC不變．（7分）
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC=∠BAQ+∠APM，
∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°-∠PAC=180°-60°=120°．
點(diǎn)評：此題是一個綜合性題目，主要考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識．