Question

（2012•開平區(qū)一模）如圖，△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC，且交BC于點(diǎn)D，在AB上截取AE=AC，過點(diǎn)E作EF∥BC交AD于點(diǎn)F．
（1）求證：①△ADE≌△ADC； ②四邊形CDEF是菱形．
（2）求證：△ACF∽△ABD；
（3）請(qǐng)你以線段AE為直徑作圓（只保留作圖痕跡，不寫作法），若所作的圓交DF于點(diǎn)H，小明認(rèn)為點(diǎn)H是線段DF的中點(diǎn)．你同意他的觀點(diǎn)嗎？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）①根據(jù)已知首先得出∠EAD=∠CAD進(jìn)而利用SAS即可得出△ADE≌△ADC；
②由△ADE≌△ADC得：ED=CD，∠EDA=∠CDA，進(jìn)而得出ED=CD=EF，四邊形CDEF是菱形；
（2）根據(jù)利用SAS即可得出△AFE≌△AFC，進(jìn)而得出△AEF∽△ABD，即可得出答案；
（3）利用等腰三角形性質(zhì)即可得出DH=HF．

解答：證明：
（1）①在△ADE和△ADC中；
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠CAD，
∵在△ADE和△ADC中

AE=AC ∠EAD=∠CAD AD=AD

，
∴△ADE≌△ADC（SAS）；
②由△ADE≌△ADC得：
ED=CD，∠EDA=∠CDA，
∵EF∥BC
∴∠CDF=∠EFD，
∴∠EDA=∠EFD，
即：ED=CD=EF，
∴四邊形CDEF是菱形；

（2）在△AEF和△ACF中；
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAF=∠CAF，
∵在△AFE和△AFC中

AE=AC ∠EAF=∠CAF AF=AF

，
∴△AFE≌△AFC（SAS）； 
又∵EF∥BC
∴△AEF∽△ABD； 
即：△ACF∽△ABD；

（3）同意；
連接EH，
∵AE是圓的直徑，∴∠AHE=90°，
即：EH⊥DF，
又∵ED=EF，
∴DH=HF．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定，利用等腰三角形的性質(zhì)得出DH=EH是解題關(guān)鍵．