Question

（2009•白云區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l是第二、四象限的角平分線．
（1）實(shí)驗(yàn)與探究：由圖觀察易知A（0，2）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（-2，0），請(qǐng)?jiān)趫D中分別標(biāo)明B（-1，5）、C（3，2）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′、C′的位置，并寫出他們的坐標(biāo)：B′、C′；
（2）歸納與發(fā)現(xiàn)：結(jié)合圖觀察以上三組點(diǎn)的坐標(biāo)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)坐標(biāo)平面內(nèi)任一點(diǎn)P（a，b）關(guān)于第二、四象限的角平分線l的對(duì)稱點(diǎn)P'的坐標(biāo)為_(kāi)_____（不必證明）；
（3）運(yùn)用與拓展：已知兩點(diǎn)D（-1，-3）、E（2，-4），試在直線l上確定一點(diǎn)Q，使點(diǎn)Q到D、E兩點(diǎn)的距離之和最小，并求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）分別作B（-1，5）、C（3，2）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B'，C'，B'（-5，1）、C'（-2，-3）；
（2）觀察以上三組點(diǎn)的坐標(biāo)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)坐標(biāo)平面內(nèi)任一點(diǎn)P（a，b）關(guān)于第二、四象限的角平分線l的對(duì)稱點(diǎn)P'的坐標(biāo)為（-b，-a）；
（3）點(diǎn)D關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)D'的坐標(biāo)為（3，1），可求出點(diǎn)E、點(diǎn)D'的直線解析式為y=5x-14．點(diǎn)Q是直線y=5x-14與直線l：y=-x的交點(diǎn)，解方程組：即可得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
解答：（本小題滿分12分）
解：（1）如圖：（2分）
B'（-5，1）、C'（-2，-3）；（4分）

（2）P（-b，-a）；（6分）

（3）點(diǎn)D關(guān)于直線l的對(duì)稱，
點(diǎn)D'的坐標(biāo)為（3，1），[注：求出點(diǎn)E的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)參照給分]
設(shè)過(guò)點(diǎn)E、點(diǎn)D'的直線解析式為：y=kx+b，（8分）
分別把點(diǎn)E、D'的坐標(biāo)代入其中，
得關(guān)于k、b的二元一次方程組，
解得k=5，b=-14，（9分）
∴y=5x-14，
點(diǎn)Q是直線y=5x-14與直線l：y=-x的交點(diǎn)，（10分）
解方程組：得，（11分）
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，-）．（12分）
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查軸對(duì)稱--最短路線問(wèn)題，綜合運(yùn)用了一次函數(shù)的知識(shí)．