Question

一開口向上的拋物線與x軸交于A（m-2，0），B（m+2，0）兩點，記拋物線頂點為C，且AC⊥BC。

（1）若m為常數(shù)，求拋物線的解析式；
（2）若m為小于0的常數(shù)，那么（1）中的拋物線經(jīng)過怎樣的平移可以使頂點在坐標原點？
（3）設(shè)拋物線交y軸正半軸于D點，問：是否存在實數(shù)m，使得△BOD為等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）設(shè)拋物線的解析式為： y=a（x- m+）（x-m -2）=d（x- m）²-4a，
∵AC⊥BC，由拋物線的對稱性可知：△ACB是等腰直角三角形，又AB=4
∴C（m，-2），代入得a=，∴解析式為：y=（x-m）²-2；
（2）∵m為小于0的常數(shù)，
∴只需將拋物線向右平移-m個單位長度，再向上平移2個單位長度，
可以使拋物線y=（x-m）²-2的頂點在坐標原點；
（3）由（1）得D（0，m²-2），設(shè)存在實數(shù)m，使得△BOD為等腰三角形，
∵△BOD為直角三角形，
∴只能OD=OB，∴m²-2=|m+2|，
當m+2>0時，解得m=4或m=-2（舍）；
當m+2<0時，解得m=0（舍）或m=-2（舍）；
當m+2=0，即m=-2時，B、O、D三點重合（不合題意，舍）
綜上所述：存在實數(shù)m=4，使得△BOD為等腰三角形。