(2013•道外區(qū)三模)如圖,點(diǎn)l是△ABC的內(nèi)心,線段AI的延長(zhǎng)線交△ABC外切圓于點(diǎn)D,交BC邊于點(diǎn)E.
(1)求證:lD=BD.
(2)若
BE
AB
=
2
3
,lE=2,求AD的長(zhǎng).
分析:(1)根據(jù)三角形內(nèi)心得出∠BAD=∠CAD,∠ABI=∠CBI,推出弧BD=弧CD,得出∠DBC=∠CAD,根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠DBI=∠DIB,根據(jù)等腰三角形判定推出即可.
(2)證△BDE∽△ADB,得出比例式
DE
BD
=
BD
AD
=
BE
AB
=
2
3
,設(shè)DE=2a,則BD=3a,求出AD=
9
2
a,根據(jù)IE=ID-DE=3a-2a=2求出a=2,即可求出答案.
解答:(1)證明:∵點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心,
∴∠BAD=∠CAD,∠ABI=∠CBI
∴弧BD=弧CD,
∴∠DBC=∠CAD,
∴∠CBI+∠DBC=∠ABI+∠BAD,
∴∠CBI+∠DBC=∠DIB
即∠DBI=∠DIB,
∴ID=BD.

(2)解:∵∠DBC=∠CAD,
 又∵∠BAD=∠CAD
∴∠DBC=∠BAD,
又∵∠BDE=∠ADB,
∴△BDE∽△ADB
DE
BD
=
BD
AD
=
BE
AB
=
2
3
,
設(shè)DE=2a,則BD=3a,
則AD=
9
2
a
∵ID=BD,
∴IE=ID-DE=3a-2a=2,
∴a=2,
∴AD=9.
點(diǎn)評(píng):本題考查了三角形內(nèi)心,三角形外接圓和外心,等腰三角形的性質(zhì)和判定,相似三角形的性質(zhì)和判定,圓周角定理,圓心角、弧、弦之間的關(guān)系的應(yīng)用,綜合性比較強(qiáng),有一定的難度.
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